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复合函数的性质与图象

中学数学教材中会系统介绍一次函数、二次函数、反比例函数、募函数、指

数函数、对数函数等基本初等函数的图与性质，但不会系统讲述形如

y=/(g(x))的图与性质，其中丁=/(幻和)，二式外是基本初等函数，我们称

y=f(gM)或)，=g(/(x))为复合函数.对于复合函数y=f(gM),我们称对应的

y=为外函数，＞=g⑴为内函数.此文中的外函数和内函数也有非基本初

等函数的，即不是中学数学教材中系统介绍的基本初等函数.由基本初等函数经

过有限次的四则运算和复合运算得到的函数，与基本初等函数一起，统称为初等

函数.

与复合函数有关的数学题会经常出现在我们面前，而且难度较大，为了使得

我们不再畏惧，也使得我们解题能力、数学核心素养都得以提升，因此把复合函

数及其相关难点加以研究，是非常必要的，也是非常有价值的.

类比于教材研究基本初等函数的过程，我们尝试理清复合函数的图与性质.

当一个函数图是我们见过的或者容易用描点法画出来的时候，我们可以先研究

函数图，再研究函数性质.当一个函数图没有见过时，或者很难通过儿个点

完整画出来时，其实我们可以先研究函数性质，通过其性质还原其图，再根据

图，猜想并证明新的性质.研究复合函数的图与性质，我们可采取第二种路

径.

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选择几个最简的最美的基本初等函数，如广Inx、y=e\y=x+2x,用

于复合，以期以点带面.=j两个基本初等函数复合竟然是一个

更简单的基本初等函数，因此后面我们只研究y=ln，+2x)、y=(lnx)2+21nx、

y=和尸小+2/这四个及其类似的复合函数.

一、函数y=ln(/+2x)的性质与图

1.定义域和值域

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内函数y=f+2%的定义域为(9,+»),值域为-［L”).外函数y=lnx的定

义域为(0,内)，值域为(F,zo).要使复合函数y=ln(f+2x)的解析式有意义，

则X2+2X0,从而求得复合函数的定义域为(ro,-2儿(0,yo),值域为(f,3).

如果内函数为y=/+2x+3,定义域是(TO,讨)，值域则为⑵­)，可见此

时值域是外函数尸卜》定义域(O,yo)的真子集，因此复合函数y=ln(f+24+3)

始终有意义，则复合函数的定义域依然是(Y，”)，值域为Un2,xo).

如果内函数为二大，定义域为@E),值域(0,2)与外函数)，=lnx定义

域是相等集合，因此复合函数y-in9的定义域为(0,转)，值域为(9,y).

通过上述三个例子，可以发现内函数的定义域决定了内函数的值域，内函数

的值域与外函数的定义域决定了复合函数的定义域，再由复合函数的定义域决定

复合函数的值域.

2.奇偶性

复合函数y=ln(/+2x)的定义域为(-co,-2)J(0,+co),定义域没有关于原点

对称，因此该复合函数为非奇非偶函数.复合函数=的定义域为(0,包)，

也是非奇非偶函数.

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虽然复合函数y=ln(x+2x+3)的定义域