几何体体积求法.pptxVIP

几何体体积常见求法

等体积转化法：从不同的角度看待原几何体，

通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，

求原几何体的体积。

割补法不但是立体几何中求角、距离的常用方法，

而且也是求几何体体积的常用方法．

它包括把规则的几何体割补成易求体积的几何体，

也包括把不规则的几何体割补成规则的几何体，以便求体积．

一、直接法

解法一：

C

P

A

B

易知AO是PA的射影，且

AO是∠BAC的平分线。

故VP-ABC=

O

例1

由三余弦定理

而

,

解法二（换底法）

P

A

B

C

D

（割体法）取AB、AC

的中点M、N，

解法三：

连接PM、PN、MN，则P-AMN

是一个棱长为1的正四面体。

明显地，VP-ABC=4VP-AMN

故VP-ABC=

M

N

P

A

B

C

P

A

B

C

O

Q

解法四：

明显地，P-ABC是棱长为2的

正四面体，

所以，VP-ABC=1/2VQ-ABC

（补体法）延长AP至点Q，

连接BQ、CQ，

练习1：

A

B

C

D

E

正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，将它沿EC、ED折起，使A、B重合为点P，求三棱锥P-ECD的体积。

P

E

C

D

例2.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,

求三棱锥B1—AD1C的体积。

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

，求该四体的体积。

02

分析：由三条对棱相等，易联想到长方体的三组相对的面上

03

变式，四面体S-ABC的三组对棱分别相等，且依次为

01

的对角线相等，因此可将四面体补成一个长方体来解。

04

S

B

D

C

例3.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，

EF//AB，EF垂直AE，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，

求该多面体的体积()。

A

B

C

D

E

F

法一：分别取AB、CD的中点G、H连EG，GH，EH，

把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，

可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积，

整个多面体的体积为．

故选D．

A

B

C

D

E

F

G

H

法三.由已知条件可知，EF∥平面ABCD，

则F到平面ABCD的距离为2，

将几何体变形如图，使得EG=AB，

三棱锥F-BCG的体积为：

原几何体的体积为：

A

B

C

D

E

F

G

解：

法三：如下图所示，连接BE、CE

则四棱锥E-ABCD的体积VE-ABCD=3×3×3×2=6，

又∵整个几何体大于四棱锥E-ABCD的体积，

∴所求几何体的体积V求＞VE-ABCD，

A

B

C

D

E

F

例4.三棱锥P--ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=a，

ED⊥PA，ED⊥BC,ED=h,求三棱锥的体积。

P

A

B

C

E

D

小结

求体积的

常用方法

所给的是非规范(或条件比较分散的规

范的)几何体时,通过对图象的割补或体

积变换,化为与已知条件直接联系的规

范几何体,并作体积的加、减法。

当按所给图象的方位不便计算时,可选

择条件较集中的面作底面,以便计算底

面积和高.

所给的是规范几何体,且已知条件比较

集中时,就按所给图象的方位用公式直

接计算体积.

换底法

直接法

割补法