重难点16 立体几何常考经典小题全归类【十大题型】（举一反三）（新高考专用）无答案）.docxVIP

重难点16立体几何常考经典小题全归类【十大题型】

【新高考专用】

立体几何与空间向量是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对该部分的考查，小题主要体现在三个方面：一是有关空间线面位置关系的判断；二是空间几何体的体积和表面积的计算，难度较易；三是常见的一些经典常考压轴小题，涉及到空间角、空间距离与轨迹问题等，综合性强，难度中等或偏上，需要灵活求解．

【知识点1空间几何体表面积与体积的常见求法】

1．求几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

2．求组合体的表面积与体积的一般方法

求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该

怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.

【知识点2几何体与球的切、接问题的解题策略】

1．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.

常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

2．空间几何体外接球问题的求解方法：

空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，

把空间问题转化为平面问题求解.

(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元

素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.

(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心

的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

【知识点3几何法与向量法求空间角】

1．几何法求异面直线所成的角

(1)求异面直线所成角一般步骤：

①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；

②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；

③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；

④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.

2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.

3．几何法求线面角

(1)垂线法求线面角(也称直接法)；

(2)公式法求线面角(也称等体积法)：

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.

公式为：，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.

4．向量法求直线与平面所成角的主要方法:

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.

5．几何法求二面角

作二面角的平面角的方法：

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

6．向量法求二面角的解题思路

用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.

【知识点4立体几何中的最值问题及其解题策略】

1．立体几何中的几类最值问题

立体几何中的最值问题有三类：

一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；

二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；

三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．

2．立体几何中的最值问题的求解方法

解决立体几何中的最值问题主要有两种解题方法：

一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；

二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求

最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题．

【知识点5立体几何中的截面、交线问题的解题策略】

1．立体几