重难点突破02 活用隐圆的五种定义妙解压轴题（五大题型）(有解析）.docxVIP

重难点突破02活用隐圆的五种定义妙解压轴题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长 2

题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值 5

题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90° 8

题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值 10

题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值 12

03过关测试 17

活用隐圆的五种定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90°、边与对角为定值且对角互补、到两定点距离之比为定值。

解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰明了。

题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长

【典例1-1】已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】单位向量满足，即，作，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，

，设，则，由得：，

令，即，

，其中锐角满足，

因此，当时，，当时，，

所以的取值范围是.

故选：D

【典例1-2】已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意不妨设，设，则．

∵，∴，即表示圆心为，半径为1的圆，设圆心为P，∴．

∵表示圆P上的点到坐标原点的距离，，∴的取值范围为，

故选：C．

【变式1-1】如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】问题可转化为圆和圆相交，

两圆圆心距，

由得，

解得，即.

故选：D

【变式1-2】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知，动直线经过定点，

动直线即，经过定点，

时，动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，

时，也垂直，所以两直线始终垂直，

又P是两条直线的交点，，．

设，则，，

由且，可得，

，

，，

，

，

故选:D．

【变式1-3】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（????）

A．4 B．10 C．5 D．

【答案】C

【解析】由题意可知，动直线经过定点，

动直线即，经过定点，

因为，所以动直线和动直线始终垂直，

又是两条直线的交点，

则有，，

故（当且仅当时取“”，

故选：C．

【变式1-4】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值为（????）

A．5 B．10 C． D．

【答案】B

【解析】由题意，动直线经过定点，则，

动直线变形得，则，

由得，

∴

，

故选：B．

题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值

【典例2-1】在平面直角坐标系中，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为．

【答案】5

【解析】设点，由得：，

即，即，

在以为直径的圆上，不妨设，，

则，，

，

，其中为辅助角，

令，，则，．

，

令，，，

在，上单调递增，

故当时，取得最小值，

再令，，

显然在，上单调递增，

故时，取得最小值，

综上，当，时，取得最小值25．

故的最小值为5,

故答案为：5．

【典例2-2】（2024·江苏盐城·三模）已知四点共面，，，，则的最大值为．

【答案】10

【解析】设，由题意可得：，

则：，

ABC构成三角形，则：，解得：，

由余弦定理：

，

当时，取得最大值为10.

【变式2-1】已知圆，点，设是圆上的动点，令，则的最小值为．

【答案】

【解析】设，，，

，

当取得最小值时，取得最小值，

由圆，则圆心，半径，

易知，则.

故答案为：.

【变式2-2】已知圆:，点，.设是圆上的动点，令，则的最小值为．

【答案】

【解析】

由已知，，

设Px0,y0

所以，

因为，所以当OP取得最小值时，取得最小值，

由OP的最小值为，

所以的最小值为.

故答案为：.

【变式2-3】正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为.

【答案】

【解析】如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则，

设点，则由，

得，

整理得，

即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，

圆