考点34数列的概念（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）解析版.docxVIP

考点34数列的概念（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【考试提醒】

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

【知识点】

1．数列的有关概念

概念

含义

数列

按照确定的顺序排列的一列数

数列的项

数列中的每一个数

通项公式

如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式

数列{an}的前n项和

把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an

2.数列的分类

分类标准

类型

满足条件

项数

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

项与项间的大小关系

递增数列

an＋1an

其中n∈N*

递减数列

an＋1an

常数列

an＋1＝an

摆动数列

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3.数列与函数的关系

数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．

常用结论

1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))

2．在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．

【核心题型】

题型一由an与Sn的关系求通项公式

Sn与an的关系问题的求解思路

(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．

(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

【例题1】（2023·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

由题中等式，可得，再结合时，可得.

【详解】当时，有，所以，

当时，由，，

两式相减得，

此时，，也满足，

所以的通项公式为.

故选：B.

【变式1】（2024·江苏南通·三模）设数列的前项和为，若，则（???）

A．65 B．127 C．129 D．255

【答案】B

【分析】降次作差得，再利用等比数列通项公式即可得到答案.

【详解】时，，则.

时，，

，

是2为首项，2为公比的等比数列，，

故选：B.

【变式2】（23-24高三上·上海徐汇·阶段练习）已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为．

【答案】

【分析】利用等差数列的定义以及的关系即可得出结论.

【详解】由知，

当时，；

当时，，

此时，当时，，

当时，，而，

若数列是等差数列，则，

所以，则.

故答案为：.

【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列前n项的积为，数列满足，（，）．

(1)求数列，的通项公式；

(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）对，两边同时取对数，分是否等于讨论即可求出，由等差数列定义即可求出；

（2）令，解出即可得解.

【详解】（1），，

当时，，

当时，，即，

而，

从而数列的通项公式为；

若数列满足，（，），

则，

从而数列的通项公式为；

（2）令，解得，这表明，

从而只能，

所以数列的通项公式为

题型二由数列的递推关系求通项公式

(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．

(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．

命题点1累加法

【例题2】（2024·河北保定·三模）设是公差为3的等差数列，且，若，则（????）

A．21 B．25 C．27 D．31

【答案】D

【分析】由，得，从而可得，进而可求解.

【详解】由，得，则，

从而.

故选：D

【变式1】（2024·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（????）

A．135 B．395 C．855 D．990

【答案】C

【分析】构造函数，可得，令，由得，从而得到，即可求出的最小值.

【详解】由，得，令，得，

令，得，

故，又，

所以，

所以，因为，当时，的最小值为855．

故选：C．

【变式