考点19利用导数研究恒(能)成立问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）(有解析）.docxVIP

考点19利用导数研究恒(能)成立问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【考试提醒】

恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大．

【核心题型】

题型一分离参数求参数范围

分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；

a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；

a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；

a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.

【例题1】（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将由不等式转化为，令，得到，令函数，问题转化为存在，使得，利用导数求得函数的单调性，结合，得到且，即可求解.

【详解】由不等式，即，

令，即有，

又由，所以函数在上单调递增，

因为，所以，

令，问题转化为存在，使得，

因为，令，可得；令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又因为，所以当时，，

若存在，使得成立，只需且，

解得，因为，所以.

故选：A.

【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：

1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；

2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；

3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.

结论拓展：与和相关的常见同构模型

①，构造函数或；

②，构造函数或；

③，构造函数或.

【变式1】（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分离参数转化为，构造函数，利用导数法求出，即为所求.

【详解】不等式有解，即，，只需要，

令，

，，

令，，

，所以函数在上单调递增，

又，，所以存在，使得，即，

，，即；，，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

，又由，可得，

.

.

故选：A.

【点睛】思路点睛：由题意问题转化为，，构造函数，利用导数求出的最小值，即只要.

【变式2】（2024·上海普陀·二模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是.

【答案】

【分析】原式可化为，然后研究函数的图象，只需当时，在下方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解．

【详解】原不等式可化为：，

令，，显然时，，单调递减；时，，单调递增，

所以，且时，，,

同一坐标系中，作出与（过定点的图象：

据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足，

解得．

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解问题，关键是将不等式适当变形，转化为两个函数交点问题.

【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2)．

【分析】（1）求出，分类讨论确定和的解得单调性；

（2）用分离参数法转化问题为不等式在区间上有解，引入函数，求出的最小值即可得．

【详解】（1）由题意知函数的定义域为，

而，

当时，恒成立，函数在上单调递增；

当时，由，得，

由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）因为不等式在区间上有解，

所以在区间上有解，此时，

即在区间上有解，

令，则．

令，则，

所以函数在上单调递增，所以．

当时；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

综上可知，实数a的取值范围是

题型二等价转化求参数范围

根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．

【例题2】（2023·河南开封·模拟预测）若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为（????）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】由两边取对数可得，令则不等式可转化为，即，故根据题意可得求的最小值即可，令，通过求导可得的最小值即可

【详解】由两边取对数可得①，

令则，因为，所以，

则①可转化得，

因为，

因为存在，使得关于的不等式成立，

所以存在，成立，故求的最小值即可，

令

，

令

，

令，

，

所以在上单调递减，所以，

，所以在上单调递减，

所以

在上单调递减，，

，所以实数的最小值为

故选：D

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围