考点21利用导数研究函数的零点（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）(无答案）.docxVIP

考点21利用导数研究函数的零点（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【考试提醒】

函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现

【核心题型】

题型一利用函数性质研究函数的零点

利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．

【例题1】（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式1】（2024·陕西西安·一模）若不等式恒成立，则实数的取值范围为.

【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，.

(1)讨论的单调性；

(2)设，若存在两个不同的零点，，且.

（i）证明：；

（ii）证明：.

【变式3】（2024·辽宁·三模）已知.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.

题型二数形结合法研究函数的零点

含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．

【例题2】（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（????）

A．1 B．2 C．1或2 D．1或3

【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．若有三个不同的根，则的取值范围为．

【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．

(1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；

(2)当时，讨论函数零点的个数．

【变式3】（2024·河北邯郸·二模）已知函数．

(1)是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

(2)已知是的零点，是的零点．

①证明：，

②证明：．

题型三构造函数法研究函数的零点

涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围

【例题3】（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数，则（????）

A．当时，有极小值 B．当时，有极大值

C．若，则 D．函数的零点最多有1个

【变式2】（2024·全国·模拟预测）设函数.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）

【变式3】（2024·广东·二模）已知.

(1)求的单调区间；

(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.

【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1．（2023·四川资阳·模拟预测）将函数在上的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列（其中），则（????）

A． B．

C． D．为递减数列

2．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）的零点的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（2023·四川成都·二模）若指数函数（且）与幂函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

4．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在零点，则实数的值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，则（????）

A．若有极值点，则

B．当时，有一个零点

C．

D．当时，曲线上斜率为2的切线是直线

6．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（????）

A．在上为减函数 B．当时，

C． D．在上有且只有1个零点

三、填空题

7．（2024·内蒙古包头·一模）已知函数，若存在唯一的零点，则k的取值范围是.

8．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上有2个极值点，则实数的取值范围是.

四、解答题

9．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，.

(1)讨论的单调性.

(2)若使得，求参数的取值范围.

10．（2024·宁夏固原·一模）已知函数．

(1)求的最小值；

(2)若有两个零点，求的取值范围．

11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有两个相异零点．

(1)求实数a的取值范围．

(2)证明：．

12．（2024·湖北黄石·三模）已知函数有两个零点，.

(1