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光滑离散函数导数在过程评价中的应用

一、信息对信息有不同的定义：“消息就是信息”，或“有用消息就是信息”等。华东师大《信息科技》教材定义为“信息指数据、消息中包含的意义”。本书定义：没有差异就没有世界，差异就是信息。

二、信息是有密度的电子数字计算机中的信息，都以离散脉冲表示。教育教学评价中，也碰到大量离散数据。数据表达了某种实际意义，例如身高、体重、成绩、人数差异，因此是信息。

二、信息是有密度的信息密度定义定义：设为信息密度尺度，简称为信息密度，记映射则信息密度测度

二、信息是有密度的将黑点看成一个个数据信息密度低信息密度高

有离散序列n个数则信息密度5个数2个数若取其中：故当离散序列中的数据全部用上时，信息密度最大。

三、离散数据的导数连续函数有导数、微分和微分方程。近20年来，离散函数在导数、微分和微分方程建模上的成功突破，大大提高了实用数学模型的精度（有的高达99%以上）。

一元函数y=x(t)的导数一般形式定义为连续函数的导数定义：当函数在一点的左极限等于右极限并等于该点的函数值时，函数在该点连续。

这是函数的图像，该函数在点p处连续可导。p

光滑离散函数的导数当k足够大时，k时刻的函数值x(k)小于k时刻以前所有（离散）函数值之和，即时，称x(k)为光滑离散函数。定义：光滑离散函数的导数定义为

3．比较光滑离散函数和连续函数的导数光滑离散函数的导数为一元函数y=x(t)的导数为离散函数信息密度足够大时：△t=1

4．光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性由光滑离散函数导数的定义知，导数是x(k)和x(k-1)的二元组合，并称之为导数偶对，记为（x(k)，x(k-1)）。光滑离散函数的导数，是偶对导数的映射

4．光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性k不同，偶对就不同，导数dx/dt也不同。事实上，每一个dx/dt都是在一定的背景值χ(k)下得到的，故称χ(k)为k时刻导数dx/dt的背景值。

光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性添加标题连续函数导数是在△t0条件下定义的。当△t足够小时，导数偶对x(t)和x(t-△t)几乎重合。添加标题背景值χ(t)到偶对x(t)和x(t-1)具有平射性。添加标题t0时χ(t)=x(t)=x(t-1)添加标题连续函数添加标题

4．光滑离散函数导数偶对、背景值和平射性光滑离散函数的导数，尽管时间间隔△t足够小，甚至也可以写成△t0，但是时区测度m[x(k)，x(k-1)]=1的性质却始终没变，对应的背景值χ(k)，应该取x(k)和x(k-1)中的哪一个，也始终存在，并成了问题的关键。定理：当以偶对（x(t)，x(t-1)）的均值生成z1(k)为背景值χ(k)时，χ(k)到偶对（x(t)，x(t-1)）具有平射性。

三、过程评价中的应用过程评价：根据学生在学习过程中记录下的一系列数据，对学生的学习效果和成绩给予评定。即，根据已知数据，推测出整体发展情况和最终结果。例如：下图中，红点表示某一学生在学习过程中的一些已记录数据。

数据多，信息密度高，构成光滑离散函数，能比较准确的掌握学生的学习情况。数据较少，信息密度较低，构不成光滑离散函数，较难推测出学生的学习情况。

三、过程评价中的应用添加标题k0,是减函数，f(x+△x)f(x)，学生成绩处于下降阶段；添加标题0,是增函数，f(x+△x)f(x)，学生成绩处于上升阶段；添加标题0时，若k值不断增加，学生成绩突飞猛进。添加标题k0时，若k值不断减小，成绩迅速下滑。我们知道，连续函数的导数的几何意义是在函数图像上某点的斜率(k)。

三、过程评价中的应用在光滑离散函数中，如何选取一点测斜率呢？根据前面介绍的平射行原理，选取偶对（x(t)，x(t-1)）的均值生成z1(k)为背景值χ(k)，并从该点测斜率，可得出准确的发展情况。

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