状态转移矩阵的性质与计算.pptVIP

第1页，共22页，星期日，2025年，2月5日状态转移矩阵的性质与计算(1/1)3.2状态转移矩阵的性质与计算下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为:基本定义矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质第2页，共22页，星期日，2025年，2月5日状态转移矩阵的性质与计算(1/1)3.2.1状态转移矩阵的定义第3页，共22页，星期日，2025年，2月5日当系统矩阵A为n?n维方阵时,状态转移矩阵Φ(t)亦为n?n维方阵,且其元素为时间t的函数下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵(1)对角线矩阵当A为如下对角线矩阵:A?diag{?1?2…?n}则状态转移矩阵为式中,diag{…}表示由括号内元素组成对角线矩阵状态转移矩阵的定义(2/4)第4页，共22页，星期日，2025年，2月5日(2)块对角矩阵当A为如下块对角矩阵:

A?block-diag{A1A2…Al},

其中Ai为mi?mi维的分块矩阵,则状态转移矩阵为

式中,block-diag{…}表示由括号内各方块矩阵组成块对角矩阵状态转移矩阵的定义(3/4)第5页，共22页，星期日，2025年，2月5日(3)约旦块矩阵当Ai为特征值为?i的mi?mi维约旦块,则分块矩阵的矩阵指数函数为对上述三种特殊形式矩阵的状态转移矩阵和矩阵指数函数,可利用矩阵指数函数的展开式证明状态转移矩阵的定义(4/4)第6页，共22页，星期日，2025年，2月5日矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/4)3.2.2矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵Φ(t)具有如下性质1)Φ(0)?eA0?I2)eA(t+s)?eAteAs,Φ(t+s)?Φ(t)Φ(s),式中t和s为两个独立的标量自变量证明:由指数矩阵函数的展开式,有第7页，共22页，星期日，2025年，2月5日矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(2/4)3)[Φ(t2?t1)]?1?Φ(t1?t2)

4)对于n?n阶的方阵A和B,下式仅当AB?BA时才成立e(A+B)t?eAteBt5)6)[Φ(t)]n?Φ(nt)7)Φ(t2?t1)Φ(t1?t0)?Φ(t2?t0)第8页，共22页，星期日，2025年，2月5日矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(3/4)由状态转移矩阵的意义,有x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1)=Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)]=[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0)而x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0)因此,性质7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态转移等效为一步状态转移,如上图所示系统的状态转移第9页，共22页，星期日，2025年，2月5日矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(4/4)例3-3求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵解：对于该系统,在例3-1已求得状态转移矩阵为由于Φ?1(t)=Φ(?t),所以求得状态转移矩阵的逆矩阵为第10页，共22页，星期日，2025年，2月5日状态转移矩阵计算(1/1)3.3.3状态转移矩阵计算在状态方程求解中,关键是状态转移矩阵?(t)的计算对于线性定常连续系统,该问题又归结为矩阵指数函数eAt的计算上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数eAt的计算方法,下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他两种常用方法级数求和法约旦规范形法第11页，共22页，星期日，2025年，2月5日级数求和法(1/3)1.级数求和法由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知:矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算由于上述定义式是一个无穷级数,故在用此方法计算eAt时必须考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题第12页，共22页，星期日，2025年，2月5日级数求和法(2/3)显然,用此方法计算eAt一般不能写成封闭的和简洁的解析形式,只能得到数值计算的近似计算结果其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的项数的多少如果级数收敛较慢,则需计算的级数项数多