第一讲第三次数学危机.pptVIP

第1页，共27页，星期日，2025年，2月5日三次数学危机和数学思想的四次解放无理数的发现微积分的诞生----贝克莱悖论集合论----罗素悖论非欧几何的诞生十九世纪初，三个力量出现了，一个是解五次代数方程碰钉子，需要考虑存在性定理。一个是非欧几何不矛盾，是逻辑而不是直觉在起作用。一个是数学分析不严格，产生荒谬的结果。在新的矛盾面前出现一些非构造性结果，也考虑一些无穷的问题。这时追求严密与追求实用构造两种倾向都有增长，不过一般数学家维持着微妙的平衡。第2页，共27页，星期日，2025年，2月5日数学哲学的三大流派从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家都卷入到一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及数学的根本，必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来的不明显的意见分歧扩展成为学派的争论，以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派应运而生。第3页，共27页，星期日，2025年，2月5日逻辑主义罗素在1903年出版的《数学的原理》中对于数学的本性发表了自己的见解。他说：“纯粹数学是所有形如“p蕴涵q”’的所有命题类，其中p和q都包含数目相同的一个或多个变元的命题，且p和q除了逻辑常项之外，不包含任何常项。所谓逻辑常项是可由下面这些对象定义的概念：蕴涵，一个项与它所属类的关系，如此这般的概念，关系的概念，以及象涉及上述形式一般命题概念的其他概念。除此之外，数学使用一个不是它所考虑的命题组成部分的概念，即真假的概念。”第4页，共27页，星期日，2025年，2月5日逻辑主义的论点也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亚诺、怀特海等人表达过。戴德金在1872年出版了《连续性及无理数》一文，在这篇文章中，他把有理数做为已知，进而分析连续性这个概念。为了要彻底解决这个问题，必须考虑有理数乃至自然数产生的问题。他认为应该建立在逻辑基础上，但没有实行。不加定义的概念有基本命题、命题函数、断言、或、否(非)；这里讲的命题是指陈述一件事实或描述一种关系的一个语句，如“张三是人”，“苹果是红的”等等，由这些概念可定义逻辑上最重要的概念“蕴涵”。第5页，共27页，星期日，2025年，2月5日要想由逻辑推出数学，第一步是推出“数”来，这件事皮亚诺及弗雷格都做了。罗素在消除悖论之后，成功地用“类”来定义1。这个过程极为繁琐费力，一直到《数学原理》第一卷的363页才推出“1”的定义，而第二卷费了很大力气证明了n×m＝m×n。第6页，共27页，星期日，2025年，2月5日在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：???1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。简单来讲，即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。???2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。???3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。???这三方面不完全一样，罗素只是分别在各处用一条或两条表示过逻辑主义。由于哥德尔的不完全定理，3是错的，但是还可以坚持1和2。第7页，共27页，星期日，2025年，2月5日对逻辑主义致命打击的是哥德尔的不完全性定理，它证明了从逻辑并不能推出算术的正确性来，显然把数学全部化归为逻辑彻底失败了。但是，罗素等人的历史功绩是不可磨灭的，他们为数学奠定了逻辑基础。在一段时期内，《数学原理》是一部引导数学逻辑家的经典，至今它还有一定的意义。???逻辑主义也不是后继无人，英国的拉姆塞、美国的奎因都对逻辑主义作了进一步的发展。第8页，共27页，星期日，2025年，2月5日直觉主义直觉主义有着长远的历史，它植根于数学的构造性当中。古代数学大多是算，只是在欧几里得几何学中逻辑才起一定作用。到了十七世纪解析几何和微积分发明之后，计算的倾向大大超过了逻辑倾向。十七、十八世纪的创造，并不考虑逻辑的严格，而只是醉心于计算。第9页，共27页，星期日，2025年，2月5日极端的构造主义者，象克洛耐克否认无理数存在，否认连续函数，他认为任何东西部要有构造步骤或判断准则，但即使他本人的工作也不符合他自己的要求。法国数学家彭加勒等人是半直觉主义者，有人称为法国经验主义者。他们反对实无穷，反对实数集合，反对选择公理，主要因为他们认为根本不能进行无穷的构造。第10页，共27页，星期日，2025年，2月5日现代直觉主义真正的奠基人是布劳威尔，他于1881年2月27日生于荷兰奥弗西。1897年进入阿姆斯待丹大学学习，一直到1904年，他很快掌握了当时的数学并且发表关于几何第一个结果。他多少受曼诺利的影响，