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例2.3Poisson过程和Poisson白噪声如果连续时的随机过程满足(1),且对任何的ts≧0和非负整数k,(2){N(t)}有独立增量性:对任何n1和随机变量相互独立,则称{N(t)}是一个强度为λ的Poisson过程。数学期望和方差分别为第29页,共72页,星期日,2025年,2月5日Poisson白噪声定义:满足上面三个条件称为Poisson白噪声。ave表示的样本均值,std表示样本的标准差。下面的例子是Poisson白噪声的60个样本。第30页,共72页,星期日,2025年,2月5日Poisson白噪声的60样本的产生1.随机产生服从(0,1)上均匀的200个样本:2.给出服从参数为1的指数分布的200个独立样本;3.给出参数为1的Poisson过程一条样本轨道在i=1,…,61上的取值;第31页,共72页,星期日,2025年,2月5日参数为1的Poisson白噪声的60个样本I第32页,共72页,星期日,2025年,2月5日样本II第33页,共72页,星期日,2025年,2月5日标准正态白噪声的60个样本:A=randn(1,60);plot(A)第34页,共72页,星期日,2025年,2月5日三.正交平稳序列设X和Y是方差有限的随机变量,如果E(XY)=0,就称X和Y是正交的,如果cov(X,Y)=0,就称X和Y是不相关的。定义对于平稳序列和,(1)如果对任何的s,t∈Z,,则称和是正交的;(2)如果对任何的s,t∈Z,,则称和是不相关的。定理2.2设和分别是平稳序列和的自协方差函数,记定义第35页,共72页,星期日,2025年,2月5日(1)如果和正交,则是平稳序列,有自协方差函数(2)如果和不相关,则是平稳序列,有自协方差函数证明:(1)当和正交,利用cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)得到(2)由上面的推导得到。第36页,共72页,星期日,2025年,2月5日§1.3线性平稳序列和线性滤波一.有限运动平均定义:设是WN(O,),对于非负整数q和常数a0,a1,…aq,我们称是白噪声的(有限)运动平均,简称为MA,运动平均又称滑动平均。MA的平稳性第37页,共72页,星期日,2025年,2月5日例:第38页,共72页,星期日,2025年,2月5日概率极限定理:定理(单调收敛定理)如果非负随机变量序列单调不减:则当时,有对于任何时间序列,利用单调收敛定理得到定理(控制收敛定理)如果随机变量序列满足和时,则当时,并且第39页,共72页,星期日,2025年,2月5日二.线性平稳序列定义:如果实数列满足则称是绝对可和的。对于绝对可和的实数列,定义零均值白噪声的无穷滑动和如下,则是平稳序列。下面说明是平稳序列。由Schwarz不等式得到于是Xt右边的无穷级
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