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高数极限竞赛题目及答案
一、选择题（共20分）
1.（5分）设函数f(x)在x=0处连续，且lim(x→0)f(x)/x=2，则f(0)的值为：
A.0
B.1
C.2
D.4
答案：A
2.（5分）若lim(x→∞)(x^2+3x-5)/(x^2-4x+4)=1，则下列哪个选项是正确的？
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：A
3.（5分）若lim(x→0)[f(x)-sin(x)]/x^2=3，则下列哪个选项是正确的？
A.f(0)=0
B.f(0)=1
C.f(0)=3
D.f(0)=4
答案：A
4.（5分）若lim(x→0)[g(x)-x]/x^3=2，则下列哪个选项是正确的？
A.g(0)=0
B.g(0)=1
C.g(0)=2
D.g(0)=3
答案：A
二、填空题（共30分）
1.（6分）计算极限lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=________。
答案：2
2.（6分）计算极限lim(x→∞)(x^3-3x^2+2x)/(x^3+2x^2-5)=________。
答案：1
3.（6分）若lim(x→0)[f(x)-2x]/x^2=5，则f(0)=________。
答案：0
4.（6分）若lim(x→0)[g(x)-3x]/x^3=4，则g(0)=________。
答案：0
5.（6分）计算极限lim(x→∞)[(x^2+1)/(x^2-1)]^(x^2)=________。
答案：e^2
三、计算题（共50分）
1.（10分）计算极限lim(x→0)(sin(x)-x)/x^3。
答案：
lim(x→0)(sin(x)-x)/x^3=lim(x→0)(cos(x)-1+x^2/6)/3x^2=-1/6
2.（10分）计算极限lim(x→∞)[(x^2+2x+1)/(x^2-4x+4)]^(x^2)。
答案：
lim(x→∞)[(x^2+2x+1)/(x^2-4x+4)]^(x^2)=e^4
3.（15分）设函数f(x)在x=0处连续，且lim(x→0)f(x)/x=3，求f(0)。
答案：
由于f(x)在x=0处连续，且lim(x→0)f(x)/x=3，根据连续函数的性质，我们有f(0)=0。
4.（15分）设函数g(x)在x=0处连续，且lim(x→0)[g(x)-2x]/x^3=4，求g(0)。
答案：
由于g(x)在x=0处连续，且lim(x→0)[g(x)-2x]/x^3=4，根据连续函数的性质，我们有g(0)=0。
四、证明题（共50分）
1.（25分）证明：若lim(x→0)f(x)/x^n=L（L为常数），则f(0)=0。
证明：
由于lim(x→0)f(x)/x^n=L，我们可以得出：
f(x)=Lx^n+o(x^n)，其中o(x^n)表示比x^n高阶的无穷小。
因此，f(0)=L0^n+o(0^n)=0。
2.（25分）证明：若lim(x→∞)[f(x)/x^n]=L（L为常数），则f(x)的增长速度慢于x^(n+1)。
证明：
由于lim(x→∞)[f(x)/x^n]=L，我们可以得出：
f(x)=Lx^n+o(x^n)，其中o(x^n)表示比x^n高阶的无穷小。
因此，f(x)的增长速度慢于x^(n+1)。
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