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高数极限竞赛题目及答案
一、选择题(共20分)
1.(5分)设函数f(x)在x=0处连续,且lim(x→0)f(x)/x=2,则f(0)的值为:
A.0
B.1
C.2
D.4
答案:A
2.(5分)若lim(x→∞)(x^2+3x-5)/(x^2-4x+4)=1,则下列哪个选项是正确的?
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:A
3.(5分)若lim(x→0)[f(x)-sin(x)]/x^2=3,则下列哪个选项是正确的?
A.f(0)=0
B.f(0)=1
C.f(0)=3
D.f(0)=4
答案:A
4.(5分)若lim(x→0)[g(x)-x]/x^3=2,则下列哪个选项是正确的?
A.g(0)=0
B.g(0)=1
C.g(0)=2
D.g(0)=3
答案:A
二、填空题(共30分)
1.(6分)计算极限lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=________。
答案:2
2.(6分)计算极限lim(x→∞)(x^3-3x^2+2x)/(x^3+2x^2-5)=________。
答案:1
3.(6分)若lim(x→0)[f(x)-2x]/x^2=5,则f(0)=________。
答案:0
4.(6分)若lim(x→0)[g(x)-3x]/x^3=4,则g(0)=________。
答案:0
5.(6分)计算极限lim(x→∞)[(x^2+1)/(x^2-1)]^(x^2)=________。
答案:e^2
三、计算题(共50分)
1.(10分)计算极限lim(x→0)(sin(x)-x)/x^3。
答案:
lim(x→0)(sin(x)-x)/x^3=lim(x→0)(cos(x)-1+x^2/6)/3x^2=-1/6
2.(10分)计算极限lim(x→∞)[(x^2+2x+1)/(x^2-4x+4)]^(x^2)。
答案:
lim(x→∞)[(x^2+2x+1)/(x^2-4x+4)]^(x^2)=e^4
3.(15分)设函数f(x)在x=0处连续,且lim(x→0)f(x)/x=3,求f(0)。
答案:
由于f(x)在x=0处连续,且lim(x→0)f(x)/x=3,根据连续函数的性质,我们有f(0)=0。
4.(15分)设函数g(x)在x=0处连续,且lim(x→0)[g(x)-2x]/x^3=4,求g(0)。
答案:
由于g(x)在x=0处连续,且lim(x→0)[g(x)-2x]/x^3=4,根据连续函数的性质,我们有g(0)=0。
四、证明题(共50分)
1.(25分)证明:若lim(x→0)f(x)/x^n=L(L为常数),则f(0)=0。
证明:
由于lim(x→0)f(x)/x^n=L,我们可以得出:
f(x)=Lx^n+o(x^n),其中o(x^n)表示比x^n高阶的无穷小。
因此,f(0)=L0^n+o(0^n)=0。
2.(25分)证明:若lim(x→∞)[f(x)/x^n]=L(L为常数),则f(x)的增长速度慢于x^(n+1)。
证明:
由于lim(x→∞)[f(x)/x^n]=L,我们可以得出:
f(x)=Lx^n+o(x^n),其中o(x^n)表示比x^n高阶的无穷小。
因此,f(x)的增长速度慢于x^(n+1)。
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