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高数极限竞赛题目及答案

一、选择题(共20分)

1.(5分)设函数f(x)在x=0处连续,且lim(x→0)f(x)/x=2,则f(0)的值为:

A.0

B.1

C.2

D.4

答案:A

2.(5分)若lim(x→∞)(x^2+3x-5)/(x^2-4x+4)=1,则下列哪个选项是正确的?

A.1

B.2

C.3

D.4

答案:A

3.(5分)若lim(x→0)[f(x)-sin(x)]/x^2=3,则下列哪个选项是正确的?

A.f(0)=0

B.f(0)=1

C.f(0)=3

D.f(0)=4

答案:A

4.(5分)若lim(x→0)[g(x)-x]/x^3=2,则下列哪个选项是正确的?

A.g(0)=0

B.g(0)=1

C.g(0)=2

D.g(0)=3

答案:A

二、填空题(共30分)

1.(6分)计算极限lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=________。

答案:2

2.(6分)计算极限lim(x→∞)(x^3-3x^2+2x)/(x^3+2x^2-5)=________。

答案:1

3.(6分)若lim(x→0)[f(x)-2x]/x^2=5,则f(0)=________。

答案:0

4.(6分)若lim(x→0)[g(x)-3x]/x^3=4,则g(0)=________。

答案:0

5.(6分)计算极限lim(x→∞)[(x^2+1)/(x^2-1)]^(x^2)=________。

答案:e^2

三、计算题(共50分)

1.(10分)计算极限lim(x→0)(sin(x)-x)/x^3。

答案:

lim(x→0)(sin(x)-x)/x^3=lim(x→0)(cos(x)-1+x^2/6)/3x^2=-1/6

2.(10分)计算极限lim(x→∞)[(x^2+2x+1)/(x^2-4x+4)]^(x^2)。

答案:

lim(x→∞)[(x^2+2x+1)/(x^2-4x+4)]^(x^2)=e^4

3.(15分)设函数f(x)在x=0处连续,且lim(x→0)f(x)/x=3,求f(0)。

答案:

由于f(x)在x=0处连续,且lim(x→0)f(x)/x=3,根据连续函数的性质,我们有f(0)=0。

4.(15分)设函数g(x)在x=0处连续,且lim(x→0)[g(x)-2x]/x^3=4,求g(0)。

答案:

由于g(x)在x=0处连续,且lim(x→0)[g(x)-2x]/x^3=4,根据连续函数的性质,我们有g(0)=0。

四、证明题(共50分)

1.(25分)证明:若lim(x→0)f(x)/x^n=L(L为常数),则f(0)=0。

证明:

由于lim(x→0)f(x)/x^n=L,我们可以得出:

f(x)=Lx^n+o(x^n),其中o(x^n)表示比x^n高阶的无穷小。

因此,f(0)=L0^n+o(0^n)=0。

2.(25分)证明:若lim(x→∞)[f(x)/x^n]=L(L为常数),则f(x)的增长速度慢于x^(n+1)。

证明:

由于lim(x→∞)[f(x)/x^n]=L,我们可以得出:

f(x)=Lx^n+o(x^n),其中o(x^n)表示比x^n高阶的无穷小。

因此,f(x)的增长速度慢于x^(n+1)。

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