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含有30°角的直角三角形的性质
创设情境,问题引入问题1如图,将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?分离拼接ACB
讲授新课含30°角的直角三角形的性质一性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD如图,△ADC是△ABC的轴对称图形,因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°,从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你还能用其他方法证明吗?
证法1证明1:在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.延长BC到D,使BD=AB,连接AD,则△ABD是等边三角形.又∵AC⊥BD,已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.求证:BC=AB.ABCD证明方法:倍长法∴BC=AB.∴BC=BD.
EABC证明:在BA上截取BE=BC,连接EC.∵∠B=60°,BE=BC.∴△BCE是等边三角形,∴∠BEC=60°,BE=EC.∵∠A=30°,∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC,∴AE=BE=BC,∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB.证明方法:截半法证法2
知识要点含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,ABC∴BC=AB.
√判断下列说法是否正确:1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半.
2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。
3)直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍.
例1如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是()A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm典例精析注意:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.D解析:在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=∠B=30°.在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm,在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
例2如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于()A.3B.2C.1.5D.1解析:如图,过点P作PE⊥OB于E,∵PC∥OA,∴∠AOP=∠CPO,∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°.又∵PC=3,∴PE=1.5.∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,∴PD=PE=1.5.故选C.EC
方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.
想一想:图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边?它们所对的锐角分别是多少度?例3如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4cm,∠A=30°,立柱BC、DE要多长?ABCDE
ABCDE解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
例4已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.ACBD15°15°20解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°,))∴CD=AC=×20=10.
当堂练习1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为()A.6米B.9米C.12米D.15米2.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上
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