行进中的数学第八课时.pptVIP

第1页，共35页，星期日，2025年，2月5日二、第二次数学危机第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。*第2页，共35页，星期日，2025年，2月5日1．危机的引发1）牛顿的“无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。*第3页，共35页，星期日，2025年，2月5日例如，设自由落体在时间下落的距离为，有公式，其中是固定的重力加速度。我们要求物体在的瞬时速度，先求。∴（*）*第4页，共35页，星期日，2025年，2月5日当变成无穷小时，右端的也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是，这就是物体在时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。*第5页，共35页，星期日，2025年，2月5日2）贝克莱的发难英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？*第6页，共35页，星期日，2025年，2月5日如果是0，上式左端当成无穷小后分母为0，就没有意义了。如果不是0，上式右端的就不能任意去掉。在推出上式时，假定了才能做除法，所以上式的成立是以为前提的。那么，为什么又可以让而求得瞬时速度呢？因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从出发，两端同除以0，得出5=3一样的荒谬。（*）*第7页，共35页，星期日，2025年，2月5日贝克莱还讽刺挖苦说：即然和都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。这就是著名的“贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，*第8页，共35页，星期日，2025年，2月5日贝克莱的质问是击中要害的数学家在将近200年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。直至魏尔斯特拉斯创立“”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。*第9页，共35页，星期日，2025年，2月5日3）实践是检验真理的唯一标准应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”*第10页，共35页，星期日，2025年，2月5日2．危机的实质第一次数学危机的实质是“不是有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。*第11页，共35页，星期日，2025年，2月5日其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比——例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”。他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。*第12页，共35页