3-3线性方程组的解.pptVIP

非齐次线性方程组Ax=b无解否是无限多个解否是唯一解包含n-R(A)个自由未知量的通解作业习题3(78页)13(1);14(1)(3);17§3线性方程组的解一、线性方程组的表达式一般形式矩阵方程的形式方程组可简化为Ax=b．增广矩阵的形式二、线性方程组的解的判定设有n个未知数m个方程的线性方程组定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它是不相容的．问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解且不唯一，则如何表达或描述解的全体？m、n不一定相等！定理3：n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n．证明：设R(A)=r，为叙述方便，不妨假设B=(A,b)的行最简形矩阵为由之前讲过的性质1,5：0≤R(A)≤min(m,n)R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1前r列后n-r列多余方程前n列(2)R(A)=R(A,b)=n唯一解．后n-r列dr+1=0且r=n，对应的线性方程组为从而bij都不出现.(3)R(A)=R(A,b)n无穷多解．前r列后n-r列dr+1=0且rn，对应的线性方程组为令xr+1,…,xn作自由变量，则令xr+1,…,xn作自由变量，则再令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r，则线性方程组的通解例1：求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．例2：求解非齐次线性方程组解：R(A)=R(A,b)=34，故原线性方程组有无穷多解．解（续）：即得与原方程组同解的方程组令x3做自由变量，则方程组的通解可表示为：定理3：n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n．定理4：n元齐次线性方程组Ax=0不会出现无解的情况，因为R(A)=R(A,0)；只有零解的充分必要条件是R(A)=n；有非零解的充分必要条件是R(A)n．例4：求解齐次线性方程组提问：为什么只对系数矩阵A进行初等行变换变为行最简形矩阵？答：因为齐次线性方程组Ax=0的常数项都等于零，于是必有R(A,0)=R(A)，所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况．齐次线性方程组永远有解，至少有零解。定理4：n元齐次线性方程组Ax=0有非零解R(A)n解：对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵行阶梯形矩阵行最简形矩阵是原方程组的同解方程组，其中为自由变量故原方程的通解为：是任意常数例5：设有线性方程组问l取何值时，此方程组有(1)唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．回忆定理3：n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n．解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵．附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于1-l，l+3等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对1-l=0（或l+3=0）的情况另作讨论．分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数l取何值时，r2、r3是非零行．在r2、r3中，有5处地方出现了l，要使这5个元素等于零，l=0，3，－3，1．实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手．于是,