上海高二数学 复习材料： 距离与截面.doc

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高二数学复习资料：距离与截面

模块01：点到平面的距离

1、点到平面的距离定义：过平面外任意给定的一点M，有且只有一条直线与平面垂直，从而把点M与垂足N之间的距离叫做点M到平面的距离；

备注：

（1）如果一条直线平行于一个平面，那么直线上任意两点到平面的距离都相等，从而直线与平面的距离可以转化为直线上任意一点M到平面的距离问题。

（2）两个平行平面间的距离可以转化为其中一个平面上的任意一点到另外一个平面的距离。

例题精讲：

【例1】在棱长为1的正方体中．

（1）求点到平面的距离；（2）求直线到的距离；（3）求平面与平面的距离。

【解析】：（1）正方体的体对角线为而点到平面的距离是正方体的体对角线的，

到平面的距离为；

（2）到的距离为而平面直线到的距离；

（3）平面平面这两个平面将体对角线分成三等分平面与平面的距离为；

【例2】的三个顶点、、到平面的距离分别为、、，且它们在的同侧，则的重心到平面的距离为．

【答案】：

【解析】：解析：如图，设、、在平面上的射影分别为、、，的重心为，

连接交于中点，又设、在平面上的射影分别为、，则，，

，，，在直角梯形中可求得．答案为：．

【例3】已知正方形的边长为4，、分别是、的中点，平面，且，则点到平面的距离为．

【答案】：

【解析】：如图，到面的距离是0到面距离的3倍，设到面距离为，

则，又，可得平面，可得到面的距离等于O到面的距离：．故答案为：。

【例4】（1）长方体中，，，那么直线和平面的距离是________．

【答案】：

【解析】：∵直线平面，∴直线和平面的距离即为点和平面的距离.

∵面面，在面内过作的垂线，即为面的垂线，也就是直角三角形斜边上的高d，由面积法得：。

故答案为：。

（2）如图，立方体的棱长为，，，分别是，，的中点，求：到截面的距离；

【答案】：（1）

【解析】：解：到平面的距离即为到平面的距离在平面中，作，如图所示，连接，又面，面，则，又，得面，即的长度即为所求的距离，则，又，得；即到平面的距离为。

【例5】用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为（）

A． B． C． D．

【答案】：C

【解析】：由题意知：正六面体是棱长为的正方体，，，，，平面平面，连接，，，，平面，

又平面，，同理可证得：，又平面，，平面，平面，设垂足分别为，则平面与平面间的距离为.正方体的体对角线长为.在三棱锥中，由等体积法求得：，

∴平面与平面间的距离为：.故选：.

巩固训练：

1、四边形为正方形，且平面，，则点到直线的距离为

【答案】：

【解析】：点到直线的距离即为PB的长

2、在正方体中，底面边长为，与交于点，

（1）求直线与平面所成角．

（2）求点到的距离．

【解析】：（1）由题意，是直线与平面所成角，正方体，底面边长为，，，，，直线与平面所成角是。

（2）过作，则平面，为点到的距离．，，，由等面积可得，点到的距离为。

声3、如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，侧棱底面，，，，则到的距离为

【答案】：

【解析】：因为，平面，平面，所以平面，所以到的距离等于点到平面的距离，因为侧棱底面，所以，，因为，即，

因为，所以平面，所以，因为，所以，设点到平面的距离为，则由得，所以，得，所以到的距离为.故答案为：。

4、平面，点，点，如果，且，在内射影长分别为5和9，则平面与间的距离为

【答案】：12

【解析】：如图，，由题意可知，，，设，，

则，解得：，平面与平面间的距离；故答案为：12

5、如图，点是平面外一点，底面是边长为2的菱形，底面，，为的中点，为的中点，．

（1）证明：直线平面；

（2）求点到平面的距离。

【解析】：证明：（1）取的中点，连接，，，

，，，，平面平面，平面。

点到平面的距离，即为点到平面距离．作于，连接，过点作于点，，，平面，，，平面，底面是边长为2的菱形，底面，，为的中点，为的中点，，，，线段的长就是点到平面的距离

，故到平面的距离为。

模块02：异面直线间的距离

定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交。

已知：直线是异面直线。

求证：存在唯一的直线与都垂直且相交。

证明：先证明存在性。如图，在直线上任取一点P，过P作直线，使得.设与所确定的平面为，则.过直线作平面，使得，交线为，由，有；又，故。设与的交点为A，在平面上过点A作直线AB垂直于，交直线于点B，因，所以，这样直线AB与异面直线都垂直且相交。

再证明唯一性。（反证法）如图，假设除了AB，还有一条共垂线MN，使得，垂足分别为M,N.

因为，所以；