第4章随机变量的数字特征1.pptVIP

定理设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数).

(1)X是离散型,分布律为P{X=xk}=pk,k=1,2,...,(2)X是连续型,概率密度为f(x).若第30页，共62页，星期日，2025年，2月5日证明：p93推导过程p93Y=g(X)X=h(Y)第31页，共62页，星期日，2025年，2月5日Y=g(X)第32页，共62页，星期日，2025年，2月5日此定理还可推广到两个以上随机变量的函数.

设Z=g(X,Y)(g是连续函数),

(1)若(X,Y)是连续型,概率密度为f(x,y),则有:这里设上式的积分绝对收敛.(2)若(X,Y)为离散型,分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,则有这里设上式的级数绝对收敛.第33页，共62页，星期日，2025年，2月5日例8设风速V在(0,a)上服从均匀分布,即具有概率密度又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数,W=kV2(k0,常数),求W的数学期望.解由(1.4)式有第34页，共62页，星期日，2025年，2月5日例9设随机变量(X,Y)的概率密度第35页，共62页，星期日，2025年，2月5日解由(1.5)式得第36页，共62页，星期日，2025年，2月5日解由(1.5)式得第37页，共62页，星期日，2025年，2月5日例10某公司计划开发一种新产品,并要确定产品的产量.评估出售一件产品可获利m元,而积压一件产品导致n元损失.预测销售量Y(件)服从指数分布,其概率密度为问若要获得利润的数学期望最大,应生产多少件产品(m,n,q均为已知)?第38页，共62页，星期日，2025年，2月5日解设生产x件,则获利Q是x的函数:Q是随机变量,是Y的函数,由(1.5)式得其数学期望为第39页，共62页，星期日，2025年，2月5日第40页，共62页，星期日，2025年，2月5日第41页，共62页，星期日，2025年，2月5日*第42页，共62页，星期日，2025年，2月5日数学期望的几个重要性质:

(假设所提随机变量的数学期望存在)

(1)设C是常数,则E(C)=C.

(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有

E(CX)=CE(X).

(3)设X,Y是两个随机变量,则有

E(X+Y)=E(X)+E(Y).

此性质可推广到任意有限个随机变量之和.***

(4)设X,Y是相互独立的随机变量,则有

E(XY)=E(X)E(Y).

此性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量.

注意:反之不成立!!!

***所有性质都可用式子(1.3)~(1.6)证.第43页，共62页，星期日，2025年，2月5日性质3可推广到任意有限多个的随机变量性质2,3可推出数学期望具有线性性第44页，共62页，星期日，2025年，2月5日第4章随机变量的数字特征1第1页，共62页，星期日，2025年，2月5日第四章

随机变量的数字特征第1讲第2页，共62页，星期日，2025年，2月5日分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性.但在一些实际问题中,不需要去全面考虑随机变量的变化情况,而只需知道随机变量的某些特征,因而并不需要求出它的分布函数.

例如,在评定某一地区的粮食产量的水平时,在许多场合只要知道该地区的平均产量;又如在研究水稻品种优劣时,时常是关心稻穗的平均稻谷粒数;再如检查一批棉花的质量时,即需要注意纤维的平均长度,又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度.因此,与随机变量的有关数值,能够描述随机变量的重要特征.第3页，共62页，星期日，2025年，2月5日位置参数:期望、中位数、众数刻度参数:方差、标准方差、协方差用一个数字来表示随机变量取值规律的一个数字特征.第4页，共62页，星期日，2025年，2月5日§1数学期望第5页，共62页，星期日，2025年，2月5日例.一射手进行打靶练习,规定射入区域e2得2分,射入区域e1得1分,脱靶,即射入区域e0,得0分.射手一次射击得分数X是一个随机变量.e0e1e2第6页，共62页，星期日，2025年，2月5日设X的分布律为

P{X=k}=pk,k=0,1,2.

现在射击N次,N是一个很大的数,