2026高考物理一轮复习配套课件 第三章 增分微点5 等时圆模型.pdfVIP

1.“等时圆”模型

所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，

到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体

沿直径做自由落体运动所用的时间。

2.模型的三种情况

“同顶”等各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该

时圆2

圆周上。由2Rsinθ＝gsinθ·t，可推得t＝t＝t

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“同底”等各斜面的底端都在竖直圆周的最低点，顶端都源自该

时圆圆周上的不同点，可推得t＝t＝t

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两圆心在同一竖直线上且两圆相切。各斜面过两圆的

“双圆周”

公共切点且顶端源自上方圆周上某点，底端落在下方

等时圆

圆周上的相应位置。可推得t＝t＝t

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例1滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB和AC，

A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高

点，示意图如图所示。已知圆半径为R，在圆周所在的竖

直平面内有一位置P，距离A点为3R且与A等高。各滑梯的

摩擦均不计，已知重力加速度为g。

(1)如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动

的时间关系;

解析设AB与水平方向的夹角为θ，小朋友沿AB下滑时的加速度为a＝gsinθ，由

运动学规律有x＝a，由几何关系可知x＝2Rsinθ，联立解得t＝，

ABABAB

由上式可知小朋友的下滑时间与滑梯倾斜程度无关，则两次沿滑梯运动的时间

关系为t＝t＝。

ABAC

答案t＝t＝

ABAC

(2)若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静

止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少。

解析根据第(1)问的结论，画出以P点为最高点的半径为r

的等时圆，如图所示，两圆相切时，时间最短，有

(R＋r)2＝(r－R)2＋(3R)2

解得r＝R

由第(1)问的结论有t＝。

答案

例2(多选)(2024·广西南宁模拟)如图所示，1、2、3、4四个小球均由静止开始沿

着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为t、t、t、t，已知竖直

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