等腰三角形 (3个知识点+8个题型+思维导图+过关测) (学生版)-2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版-新教材).docxVIP

人教版八年级数学

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等腰三角形

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：8大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

【知识点1等腰三角形的性质】

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．

如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD.

在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”.

由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”.

【知识点2等腰三角形的判定】

1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．

【知识点3作一个等腰三角形】

尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形.

作法：如图（2）

①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；③在MN上取一点C，使DC=h；

④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.

【题型1利用等边对等角直接求角度】

【例1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，CE是△ABC的角平分线．若∠BAC=40°，则∠BEC的度数为（????）

A．70° B．75° C．105° D．125°

【变式1-1】如图，△ABC中，∠BAC∠B，∠C=70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕ED交AB于D，交BC于E，若AE=AC，则∠B的度数为

【变式1-2】如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AB=AC=DC，AD=BD，求

【变式1-3】如图，在△ABC中，ABAC，AD是角平分线，AE是高，AE=CE，∠DAE=10°，求∠CAE和∠B的度数．

【题型2方程思想求角度】

【例2】如图，在△ABC中，∠ABC=54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（

A．104° B．106° C．117° D．136°

【变式2-1】如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE=40°，则∠BAC的度数为（

A．100° B．105° C．110° D．120°

【变式2-2】如图，△ABC中，∠BAC=67°，PD垂直平分AB，PE垂直平分AC，则∠PBC的度数为．

【变式2-3】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA=DE，DB=BE=EC．若∠ABC=130°，则∠C的度数为．

【题型3分类讨论思想求角度】

【例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数为（???）

A．40° B．40°或130° C．40°或140° D．140°

【变式3-1】已知AD是△ABC的高，AC=BC，∠CAD=50°，则∠B的度数为．

【变式3-2】△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DM交直线BC于点M，交AB于点D，若CA=CM，则∠ABC的度数为．

【变式3-3】如图，∠MON=32°，点A在ON上，BC垂直平分OA分别交OM、ON于点B、C．点D在射线OM上，不与点O、B重合，当△ABD是等腰三角形时，求∠OAD的度数．

【题型4“三线合一”的应用】

【例4】如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，BD=CE，AD=AE．求证：AB=AC．

【变式4-1】如图，已知：∠1=∠2，DA=DB，AC=12AB

【变式4-2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点．

(1)若∠A=40°，求∠ABC的度数；

(2)求证：DG垂直平分EF．

【变式4-3】如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，点D是边BC的中点，以AD为底边向上作等腰△ADH，使得∠ADH=∠C，DH交AB于点K

(1)若∠B=20°，求