等边三角形 (3个知识点+7个题型+思维导图+过关测) (学生版)-2025年新八年级数学暑假衔接讲练 (人教版-新教材).docxVIP

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第15讲等边三角形

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：7大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

【知识点1等边三角形的性质】

性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．

【注意】

（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；

（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．

【知识点2等边三角形的判定】

1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形．

2.三个角都相等的三角形是等边三角形．

3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

【知识点3含30°角的直角三角形的性质】

性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD.

又因为∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC，

所以BC=12AB.由此可以得到

【题型1利用等边三角形的性质求角度】

【例1】如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，过点D的直线与AC相交于点E，与AB的延长线相交于点F，当AE=AD时，则∠F=．

【变式1-1】如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AB，BD=AB，则∠ADC的度数为（???）

A．15° B．20° C．22.5° D．30°

【变式1-2】如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，求∠BPD的度数.

【变式1-3】如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AD=CE，求∠BOD的度数.

【题型2利用等边三角形的性质求线段长度】

【例2】如图，△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE的长为（???）

A．7 B．8 C．172

【变式2-1】如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，若△ABC的周长为15,AF=2，则BE的长为．

【变式2-2】如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．若BE=1，AE=4，求CE的长．

【变式2-3】如图，等边三角形ABC中，BD是中线，延长BC至E使得CE=12BC，过点D作DF⊥BE于F

【题型3含30°角的直角三角形的性质简单应用】

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB交BC于点D，AD=2，则BC的长是（）

A．12 B．10 C．8 D．6

【变式3-1】如图，点O是边长为3的等边△ABC一边BC上的一点，OE、OF分别与两边垂直，则BE+CF（????）

A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2

【变式3-2】如图，在等边三角形ABC中，BC=8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作EF⊥BC于点E，则BE的长为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式3-3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E，CE=3，AC的长为（???）

A．6 B．8 C．9 D．12

【题型4作垂线构造含30°角的直角三角形】

【例4】如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=24，点D在BA的延长线上，CA=CD，BD=15，则AD的长为（????）

A．6 B．5 C．4 D．3

【变式4-1】如图，在等边三角形ABC中，D是AC延长线上一点，E是AB上一点，连接BD，ED．若DE=DB，AD+AE=10，BE=2，则BC的长为．

【变式4-2】如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，点E，F在等腰三角形ABC的内部，连接AE，EF，CF，使∠BAE=∠AEF=60°，且CF平分∠ACB．若AE=5，EF=3

【变式4-3】如图，在△ABC中，∠ABC=60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB=5.4，CE=3，则BE=．

【题型5等边三角形的判定】

【例5】如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F，延长FD、CA交于点E．若∠E=30°，AD=AE．求证：△ABC为等边三角形．

【变式5-1】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

【变式5