新课标高考总复习数学38第四章高考培优5与三角形有关的范围(最值)问题62.pdfVIP

与三角形有关的范围(最

值)问题

题型一已知三角形的一角求取值范围

[典例1]在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2bsin

A－3a＝0.

(1)求角B的大小；

(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．

解：(1)由正弦定理，得2sinBsinA＝3sinA，

π

因为sinA0,0＜B＜，

2

3π

故sinB＝，B＝.

23

2π

(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A．

3

ππ

由△ABC是锐角三角形，得A∈(6，2).

2π13

A

由cosC＝cos(3－)＝－cosA＋2sinA，得

2

311π13＋1

cosA＋cosB＋cosC＝sinA＋cosA＋＝sinA＋＋∈3.

222(6)2(2，2]

3＋1

故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是(，3].

22

题中的三角形形状是锐角三角形，对角度有更细致的要求，用余弦定

理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有

一个角，转化为求三角函数取值范围问题．

[跟进训练]

3c

222

1．若△ABC的面积为(a＋c－b)，且C为钝角，则B＝________；的取值

4a

范围是________.

13a2c2b2

3＋－

222

60°(2，＋∞)[由已知得4(a＋c－b)＝acsinB，所以2ac＝sin

2

B，由余弦定理得3cosB＝sinB，所以tanB＝3，所以B＝60°.又C＞90°，

csinCsin120°A1

－3

以0°A＜30°，且A＋C＝120°，所以＝＝＝＋.又0°A

asinAs