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2022年浙江省北京师大台州附中特长生自主招生数学试卷

一.选择题（本题共8小题，共48分）

1．（6分）下列语句所描述的事件是随机事件的是（）

A．任意画一个四边形，其内角和为360°

B．经过任意两点画一条直线

C．任意画一个菱形，是中心对称图形

D．过平面内任意三点画一个圆

2．（6分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，则第八个单音的频率为（）

A． B． C． D．

3．（6分）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+?+72023的结果的个位数字是（）

A．0 B．1 C．7 D．8

4．（6分）三个关于x的方程：a1（x+1）（x﹣2）＝1，a2（x+1）（x﹣2）＝1，a3（x+1）（x﹣2）＝1，已知常数a1＞a2＞a3＞0，若x1、x2、x3分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（）

A．x1＜x2＜x3

B．x1＞x2＞x3

C．x1＝x2＝x3

D．不能确定x1、x2、x3的大小

5．（6分）已知函数．当时，y＝2020；当时，当时，y的值为（）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

6．（6分）方程有四个实数解，实数k的取值范围为（）

A．1＜k＜3 B．k＞3 C．k＞1 D．0＜k＜1

7．（6分）已知a，b是非零实数，若对于任意的x≥0（x﹣a）（x﹣b）（x﹣b﹣1）≥0，则下列不可能的是（）

A．a＞0 B．a＜0 C．b＞0 D．b＜0

8．（6分）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E同一条直线上，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，且∠EGC的平分线GH过点D，连接FH交EG于点M，连接OH交CE于点N．给出以下结论：①GH⊥BE；②＝；nbsp;③△EHM∽△FHG；④＝﹣1．其中正确的结论是（）

A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②③

二.填空题（本题共7小题，共42分）

9．（6分）若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为．

10．（6分）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水升的，第3次倒出的水量是，第4次倒出的水量是升的，倒了10次后容器内剩余的水量是．

11．（6分）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，若A，B，B在C的同一侧，则不同的排列法有种（用数字作答）．

12．（6分）如图，设P，Q是边长为1的正方形ABCD内的两个点．

13．（6分）如图所示，⊙O可以在等边三角形ABC内部任意位置移动，记∠ABO＝α，则tanα的最小值为．

14．（6分）设a，b，c，d都是正数，且S＝+++．

15．（6分）对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数．若，则[S]＝．

二.填空题（本题共4小题，共60分）

16．（15分）阅读以下资料：

在△ABC中，若记内角A，B，C所对的三条边分别为a，b，c，则2＝b2+c2﹣2bccosA．这称为余弦定理．余弦定理可以在已知三角形三条边的情况下，求出任意一个角的余弦值；也可以在已知两条边和任意一个角的情况下

请尝试解决以下问题：

（1）若（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，求角B的值；

（2）若A＝60°，且，求的值．

17．（15分）已知二次函数y＝﹣x2+mx﹣1，其图象与y轴的交点记为C．

（1）当m＝3时，记二次函数与x轴的交点为M，N，求△MNC的面积．

（2）已知A（0，3），B（3，0），线段AB与二次函数有两个不同的交点，求实数m的取值范围．

（3）当1≤x≤2时，|﹣x2+mx﹣1|≤1恒成立，求实数m的取值范围．

18．（15分）如图，在平面内，以AB为边分别向两边作△ABO

（1）若AC＝BC＝3OA＝1，OB＝2，连接OC与直线AB交于点P，求OC的长度．

（2）若OB＝2OA，AB＝3，∠ACB＝60°

19．（15分）已知实数x，y，z满足．

（1）求所有满足条件的实数x，y，z的值；

（2）若实数a，b，c满足a2+b2+c2＝1，且ax+by+cz＝2，求实数c的取值范围．

2022年浙江省北京师大台州附中特长生自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共8