概率论与数理统计课件数理统计方法.ppt

回归分析的任务之一是确定回归函数f(x).当f(x)是一元线性函数时,称之为一元线性回归；当f(x)是多元线性函数时,称之为多元线性回归；当f(x)是非线性函数时,称之为非线性回归.如何确定回归函数f(x)呢？一是根据经验公式,二是根据散点图.不管是那种类型的回归,f(x)总含有未知参数,需要用到参数估计方法.一般情况下,还需要检验回归函数f(x)是否合理.回归分析的目的是用f(x)来做预测和决策.第30页，共55页，星期日，2025年，2月5日一元线性回归、预测和控制一元线性回归是根据数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)确定线性关系y=?0+?1x，利用最小二乘法确定回归直线方程中的未知参数?0和?1：其中第31页，共55页，星期日，2025年，2月5日判断变量y与x之间是否存在线性关系,需要检验假设H0：?1=0.选取统计量U+Q=Syy回归和总和残差平方和根据P{F＞F?(1,n-2)}=?下结论：如果F＞F?拒绝H0,即变量y与x之间存在线性关系；否则接受H0,即变量y与x之间不存在线性关系,考虑用其它回归模型.第32页，共55页，星期日，2025年，2月5日利用回归函数进行预测和控制如何根据样本提供的信息来预测当变量x=x0时随机变量Y0的值？一个自然的想法是用预测量y0=?0+?1x0来代替,但是它与真值Y0的差值是多少呢？预测量y0的优劣取决于|y0-Y0|的大小.记当n较大时,估测区间的上下限近似取作(可信程度为95%);或(可信程度为99%).第33页，共55页，星期日，2025年，2月5日控制是预测的反问题,即要使随机变量Y落在指定的区间(yL,yU)内,变量x应控制在什么区间内？从方程中解出xL和xU.则当?1＞0时,控制区间为(xL,xU)；当?1＜0时,控制区间为(xU,xL).第34页，共55页，星期日，2025年，2月5日例下面给出了悬挂不同重量x(单位：g)的物体时弹簧的长度y(单位：cm)：xi51015202530yi7.258.128.959.9010.9011.80(1)变量y与x之间的线性关系如何？(2)当悬挂16g重物时弹簧的长度大约是多少？(3)要使弹簧的长度控制在10～11cm之间,问悬挂物体的重量应控制在什么范围内？第35页，共55页，星期日，2025年，2月5日可线性化回归根据经验公式或散点图,选择适当的曲线回归方程.为了确定其中的未知参数,往往可以通过变量代换,把非线性回归化为线性回归,然后用线性回归的方法确定这些参数的值.下表列出了常用的可线性化回归(a＞0).曲线方程变换公式变换后的线性方程1/y=a+b/xu=1/x,v=1/yv=a+buy=axbu=lnx,v=lnyv=c+bu(c=lna)y=a+blnxu=lnx,v=yv=a+buy=aebxu=x,v=lnyv=c+bu(c=lna)y=1/(a+be-x)u=e-x,v=1/yv=a+bu第36页，共55页，星期日，2025年，2月5日多元线性回归和预测设随机变量Y与m个变量x1,x2,…,xm有线性关系Y=?0+?1x1+?2x2+…+?mxm+?,其中?为随机项,且?~N(0,?2).记其中yi为随机变量Y的观测值,X为已知的常数矩阵,且残差?i~N(0,?2).第37页，共55页，星期日，2025年，2月5日则问题归结为根据y和X求?使残差平方和达到最小值.Q=?T?=(y-X?)T(y-X?)令得?=(XTX)-1XTy.即得到所求的回归方程为y=?0+?1x1+?2x2+…+?mxm.第38页，