高二数学求曲线的轨迹方程专题讲座知识点分析人教版3.docVIP

四中高二数学导学学案（十七）

朱强基编写

求曲线的轨迹方程（三）

（四）参数法

如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系间接地连起来，然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程．

同学们常用的交轨法、换标法，实际上也是消去一些元，留下动点坐标x、y的方法，都可以叫参数法．在实践中大家已经知道，参数法求轨迹方程的步骤是：首先根据运动系统的运动规律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参．其中，最关键的一步是设参，参设得不同，整个思维和运算过程不同，参设得不好，运算量增大，甚至根本就算不出来；最畏难一步是消参，经常遇到参消不了而越消越复杂的情况；最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论．如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和总结．

例14矩形ABCD中，AB=2a，BC=b，a＞b，E、F分别是AB、CD的中点，平行于EC的直线l分别交线段EF、FC于M、N两点，求直线AM与BN交点P的轨迹(图3-9)．

解：以E为原点，EB为x轴建立直角坐标系．

设

因为直线l过F时，点M、N、P重合于点F，直线l→OC时，P→B故x＞0，y＞0．

例15点A(1，1)、B、C是抛物线y2=x上的动点，满足AB⊥AC，作矩形ABPC，求P点的轨迹方程(图3-10)．

运动系统中，表面上看有B、C两个动点，实际上由于AB⊥AC，所以若B主动，则C从动，P随之运动，故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统．

解：设点，P(x，y)．

∵(t1+t2)2=t12+t22+2t1t2，

∴(y+1)2=x+1+2[-(y+1)-2]．

即：(y+2)2=x-2．

最后来讨论纯粹性和完备性．

而点B与点A显然不重合

例16．E、F是边长为2的正方形ABCD的边AD、BC中点，长为

的轨迹(图3-11)．

解：以EF为x轴，EF中点为原点建立直角坐标系，则E(-1，0)，

即x2-y2=1．

据M点从A到OA中点及角到O的运动过程，画图可知，轨迹为双

例17．点A(1，1)，B、C是圆x2+y2=4上的动点，且AB⊥AC，求BC中点P的轨迹方程(图3-12)．

解：设B(2cosα，2sinα)、C(2cosβ，2sinβ)、P(x，y)．

∴x2+y2=2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)．

kAC·kAB=-1T4(cosαcosβ+sinαsinβ)=2(cosα+cosβ)+2(sinα+sinβ)-2．

∴x2+y2-2=x+y-1．

即(x-)2+(y-)2=