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求曲线轨迹方程的常见方法

陈辉

一、求曲线轨迹方程的步骤

（1）建立直角坐标系，设动点坐标M（x，y）；（2）列出动点M（x，y）满足的条件等式；（3）化简方程；（4）验证（可以省略）；（5）说明方程的轨迹图形，“补漏”和“去掉增多的点”．

二、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、相关点法、几何法、定义法等

（1）直接法

例1：如图1，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=。试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．

【解析】以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，O2（2，0），由已知，得。

因为两圆的半径均为1，所以。

设P（x，y），则，即，所以轨迹方程为。

（2）相关点法

对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程．

例2：如图2，已知P（4，0）是圆内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．

解：设AB的中点为R（x，y），则在Rt△APB中，|AR|=|PR|．又因为R是弦AB的中点，则，又，所以有，即，因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的轨迹上运动。

设Q（x,y），R，因为R是PQ的中点，所以，代入方程，得。整理得，这就是所求的轨迹方程。

（3）几何法

利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程。

例3：如图3，已知点A（－6，0），B（2，0），O为原点，设动点P与线段AO与BO所张的角相等，求动点P的轨迹。

【解析】设P（x,y），由题意知，∠APO=∠BPO，由三角形角平分线定理知，，则，整理得。而当x=0时无意义，当P点落在x轴上时，也符合题意。

综合上述所求轨迹方程为（x≠0）或。

（4）定义法

若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，可用定义直接求解。

例4：已知圆C：，过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程。

【解析】设弦的中点为P。

∵∠OPC=90°，动点P在以为圆心，OC为直径的圆上，

∴所求点的轨迹方程为。