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求曲线轨迹方程的常见方法
陈辉
一、求曲线轨迹方程的步骤
(1)建立直角坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,“补漏”和“去掉增多的点”.
二、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、相关点法、几何法、定义法等
(1)直接法
例1:如图1,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=。试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.
【解析】以O1O2的中点O为原点,O1O2所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则,O2(2,0),由已知,得。
因为两圆的半径均为1,所以。
设P(x,y),则,即,所以轨迹方程为。
(2)相关点法
对某些较复杂的探求轨迹方程的问题,可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程.
例2:如图2,已知P(4,0)是圆内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解:设AB的中点为R(x,y),则在Rt△APB中,|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点,则,又,所以有,即,因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,点Q即在所求的轨迹上运动。
设Q(x,y),R,因为R是PQ的中点,所以,代入方程,得。整理得,这就是所求的轨迹方程。
(3)几何法
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满足的条件,然后得出动点的轨迹方程。
例3:如图3,已知点A(-6,0),B(2,0),O为原点,设动点P与线段AO与BO所张的角相等,求动点P的轨迹。
【解析】设P(x,y),由题意知,∠APO=∠BPO,由三角形角平分线定理知,,则,整理得。而当x=0时无意义,当P点落在x轴上时,也符合题意。
综合上述所求轨迹方程为(x≠0)或。
(4)定义法
若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义,可用定义直接求解。
例4:已知圆C:,过原点O作圆的任一弦,求弦的中点的轨迹方程。
【解析】设弦的中点为P。
∵∠OPC=90°,动点P在以为圆心,OC为直径的圆上,
∴所求点的轨迹方程为。
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