河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《直线与圆锥曲线的位置关系及轨迹问题》专题训练.docVIP

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用心爱心专心

河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《直线与圆锥曲线的位置关系及轨迹问题》专题训练

一、选择题

1．(2011·潍坊模拟)椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是()

A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0

C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0

解析：依题意得e＝eq\f(1,2)，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，eq\f(1,2))的连线的斜率为eq\f(2－\f(1,2),2－1)＝eq\f(3,2)，所求直线的斜率等于－eq\f(2,3)，所以所求直线方程是y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,3)(x－1)．即4x＋6y－7＝0.

答案：B

2．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线l：2x＋y＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是()

A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(\r(3),2)

C．4eq\r(3) D.eq\r(5)

解析：由题知，双曲线的渐近线方程为kx2－y2＝0，即y＝±eq\r(k)x.由题知直线l的斜率为－2，则可知k＝eq\f(1,4)，代入双曲线方程kx2－y2＝1，得eq\f(x2,4)－y2＝1，于是，a2＝4，b2＝1，从而c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)，所以e＝eq\f(\r(5),2).

答案：A

3．(2011·金华模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1、F2，设P是双曲线右支上一点，在上的投影的大小恰好为||且它们的夹角为eq\f(π,6)，则双曲线的离心率为()

A.eq\f(\r(2)＋1,2)B.eq\f(\r(3)＋1,2)

C.eq\r(3)＋1D.eq\r(2)＋1

解析：由题意得⊥，且∠PF1F2＝30°.

设|＝2c，则||＝eq\r(3)c，|PF2|＝c，由双曲线的定义得eq\r(3)c－c＝2a，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)＋1.

答案：C

4．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与C相交于A、B两点．若＝3，则k＝()

A．1 B.eq\r(2)

C.eq\r(3) D．2

解析：由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2)得a＝2b，a＝eq\f(2,\r(3))c，b＝eq\f(c,\r(3)).

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x2＋3y2＝c2，,y＝k(x－c)，))得(3＋12k2)y2＋6cky－k2c2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝eq\f(－2ck,1＋4k2).①

y1y2＝eq\f(－k2c2,3＋12k2).②

由＝3得y1＝－3y2.③

联立①②③得k＝eq\r(2)或－eq\r(2)(舍去)．

答案：B

5．(2011·石家庄二模)直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则eq\f(|AB|,|CD|)的值为()

A．16 B.eq\f(1,16)

C．4 D.eq\f(1,4)

解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋4＝0，,x2＝4y，))得x2－3x－4＝0，∴xA＝－1，xD＝4，直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．

∴|AF|＝yA＋1＝eq\f(5,4)，|DF|＝yD＋1＝5.

∴eq\f(|AB|,|CD|)＝eq\f(|AF|－1,|DF|－1)＝eq\f(1,16).

答案：B

6．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜2)与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为()

A．1 B．2

C．4 D．8

解析：不妨设点F的坐标为(eq\r(4－b2)，0)，而|AB|＝2b，∴S△ABF＝eq\f(1,2)×2b×eq\r(4－b2)＝beq\r(4－b2)＝eq\r(b2(4－b2))≤eq\f(b2＋4－b2,2)＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)．故△ABF面积的最大值为