【课件】函数的单调性（第2课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册.pptxVIP

3.1.2函数的单调性

(第2课时);

01掌握函数的平均变化率

02理解平均变化率的几何

意义

03理解函数的单调性与平;

两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立.

设直线AB:y=kx+b任意两点A(x?,y?),B(x?,y?),(x?≠x?),则有;

如图所示，直线AB的斜率即为Rt△ACB中BC与AC的

比，另外，图中，直线AB的斜率大于零，而直线AD的斜率小于零.

不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当

其中任意两点确定的直线的斜率都相等或都不存在.下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性.;

尝试与发现

如图所示，观察函数图象上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之;

为函数y=f(x)在区间[x?,x?](x?x?时)或[x?,x?](x?x?时)上

的平均变化率.;

函数的单调性与平均变化率的关系

一般地，若I是函数y=f(x)的定义域的子集，对任意x?,x?∈I且记

y?=f(x?),y?=f(x?),,则：

(即

(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是在I上恒成立；

(2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是在I上恒成立.;

利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性.

例如，对于函数y=-2x来说，对任意x,x?∈R且有;

例3求证：函数在区间(一∞,O)和(0,+o)上都是减函数

证明：设x?≠x?,那么

如果x?,x?∈(一∞,0),则x?x?0,此时;

例4判断一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性.

解：设x?≠x?,那么;

例4说明，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上任意两点确定的直线斜率均为k,

这实际上也说明了一次函数的图象一定是直线.不仅如此，此时从还可以

看出，△y=k△x,这就意味着在一次函数中，△y与△x成正比，且比例系数为k.特别地，当自变量每增大一个单位时，因变量增大k个单位，而且可以证明，只有一次函数才具有这个性质，事实上，如果△y=k△x,设x=0时函数值为y%,则y-yo=k(x-0),即y=kx+yo,因此一定是一次函数.正因为如此，一次函数也经常被???为线性函数.;

探索新知

例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体

积相等，那么容器内水面的高度y是时间t的函数.;

当容器是如图(1)所示圆台时，由

容器的形状可知，在固定的△t时

间内，随着t的增加，△y应该越大，因此函数的图象如图(2)所示.;

解：设则

因此：

当x?,x?∈(-∞,一1)时，有x?+x?-2,

因此f(x)在[一∞,-1]上是减函数；;

当x?,x?∈[-1,+∞]时，有x?+x?-2,从而因此f(x)在[一∞,-1]上是减函数；

由函数的单调性可知，函数没有最大值；

而且，当x∈[一∞,-1]时，有f(x)≥-1,

当x∈(-1,+∞)时，不等式也成立，因此f(一1)=-1是函

数的最小值;

(2)当a0时，f(x)在上单调递_增,在上单调递减，函数没有最小_值，但有最_大值;

当堂检测;

1.已知函数y=f(x)图象上两点A(2,4),B(3,9),则(B)

A.直线AB的斜率为-5

B.函数f(x)在区间[2,3]上的平均变化率为5

C.函数f(x)在区间[2,3]上单调递增

D.函数f(x)在区间[2,3]上单调递减;

2.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)的最小值为-2,则f(x)的最大值

为(A)

A.1B.0C.-1