数学物理方法第十章格林函数法.pptVIP

第1页，共22页，星期日，2025年，2月5日一、三维球对称对于三维球对称情形，我们选取两边在球内积分利用高斯定理得到第2页，共22页，星期日，2025年，2月5日故有使上式恒成立，有因此，,故得到第3页，共22页，星期日，2025年，2月5日对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为代入得到三维无界区域问题的解为上式正是我们所熟知的静电场的电势表达式第4页，共22页，星期日，2025年，2月5日二、二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即因为由于只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即第5页，共22页，星期日，2025年，2月5日选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果令积分常数为0，得到因此二维轴对称情形的格林函数为得到二维无界区域的解为第6页，共22页，星期日，2025年，2月5日10.4用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法一、电像法定义考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零点第7页，共22页，星期日，2025年，2月5日对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点（或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．第8页，共22页，星期日，2025年，2月5日二、上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型：若在处放置一正单位点电荷则虚设的负单位点电荷应该在于是得到这两点电荷在xoy的上半平面的电位分布．也就是本问题的格林函数，即为第9页，共22页，星期日，2025年，2月5日据上述物理模型可求解下列定解问题例1定解问题：解：根据第一边值问题，构建的格林函数满足处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）构建格林函数为第10页，共22页，星期日，2025年，2月5日边界外法线方向为负轴，故有代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，拉普拉斯方程的自由项,则由得第11页，共22页，星期日，2025年，2月5日或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式得到称为上半平面的拉普拉斯积分公式．第12页，共22页，星期日，2025年，2月5日三、泊松方程的第一边值问题求解例2定解问题：根据第一类边值问题的解公式得到第13页，共22页，星期日，2025年，2月5日根据半平面区域第一类边值问题的格林函数式，得到因为边界上的法线为负y轴，故得到泊松方程在半平面区域第一边值问题的解第14页，共22页，星期日，2025年，2月5日例.3在上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题解：构建格林函数满足四、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题第15页，共22页，星期日，2025年，2月5日根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为即有第16页，共22页，星期日，2025年，2月5日