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两体碰撞的拉格朗日函数定义m=m1m2/(m1+m2)是约化质量，可解得从而拉格朗日函数可写为rm2m1r1r2rc第95页，共149页，星期日，2025年，2月5日两体碰撞是有心力作用下的平面运动利用拉格朗日函数的相加性，分解为一个质量为（m1+m2）的自由质点，与一个质量为m的在势能V(r)中运动的粒子。牛顿第三定律告诉我们，两质点的相互作用是沿着r方向的，因此势能V(r)产生的作用力是有心力。有心力作用时，力矩为0，因而角动量J=rxmv守恒。以角动量的方向为z轴，因为r垂直于J，质点可限制在xy平面内运动。第96页，共149页，星期日，2025年，2月5日两体碰撞的方程约化质量质点的拉格朗日函数：相应的拉格朗日方程：角动量守恒可写为b是瞄准距离，v0是初始速度Jrzxy第97页，共149页，星期日，2025年，2月5日弹性碰撞与非弹性碰撞弹性碰撞时，相互作用力是保守力，机械能守恒。约化质量的质点的初速度与末速度相等。这意味着它的速率不变但运动方向可能改变。|v1-v2|=|v1-v2|非弹性碰撞时，有耗散作用力将一部分机械能转变成热能，因而其末速率比初速率小，两者比例为参数e。e=1是弹性碰撞，而非弹性碰撞时e1。|v1-v2|=e|v1-v2|第98页，共149页，星期日，2025年，2月5日弹性碰撞与非弹性碰撞一般来说，碰撞之后的速度表示为v1=vc+|v1-v2|em2/(m1+m2)v2=vc-|v1-v2|em1/(m1+m2)其中vc=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)是质心的速度，e是不超过1的向量，代表质点在质心系里碰撞之后的方向，其大小代表速度的恢复率。对于弹性碰撞，其数值为1，对于非弹性碰撞，其数值小于1。第99页，共149页，星期日，2025年，2月5日平方反比力的碰撞对于平方反比力，假设F(r)=k/r2，k的符号决定是斥力或者是引力。对时间积分：从而qeqerAB第100页，共149页，星期日，2025年，2月5日平方反比力碰撞的偏转角代入各个矢量由此得到偏转角这里b是瞄准距离，b0是偏转90°的瞄准距离qABb第101页，共149页，星期日，2025年，2月5日微分散射截面通过散射过程，某一小块立体角dW（可以看作是单位球上的一块小面积）与某块入射面积ds对应起来，微分散射截面就是指ds/dW。由偏转角和瞄准距离的关系就能得到散射截面。卢瑟福散射实验BqAb第102页，共149页，星期日，2025年，2月5日微分散射截面平方反比力的散射截面为刚性球的散射截面qb第103页，共149页，星期日，2025年，2月5日碰撞速度的图示质心系中，m1和m2的初始速度为v1，v2~（m2，m1）碰撞之后速度为v1，v2，~（em2,em1）质心速度为vc还原到实验室坐标系里，末速度为v1，v2v1v2v1v2v2Lv1LvC第9次课第104页，共149页，星期日，2025年，2月5日实验室参考系的偏转角考虑实验室参考系中，初始时m2是静止的。画出速度v1c，v2c，v1c，v2c，v1，v2，vc长度比例m2，m1，em2,em1,??，??，m1qLq第105页，共149页，星期日，2025年，2月5日莫培督原理进一步，通过将动能T改写，有：这即是莫培督原理的变分形式。第63页，共149页，星期日，2025年，2月5日莫培督原理举例，求抛体运动yxa第64页，共149页，星期日，2025年，2月5日与哈密顿原理类似的其他原理费马原理应用于几何光学。光线沿用时最短的路径前进平衡体系能量最小（重力势能，静电能，磁场能量），如果没达到最小，可经过一段时间的调整，最后达到最小。而哈密顿原理和费马原理的最小值取得是瞬时的。第65页，共149页，星期日，2025年，2月5日从哈密顿原理看拉格朗日函数的

相加性两个相互独立体系组成统一体系：LA=TA-VA，LB=TB-VB，则L=LA+LB由于两系统相互独立，必须两项都为0第66页，共149页，星期日，2025年，2月5日拉格朗日函数可以加上任一个函数f(q,t)的时间全微商，不影响结果。因为全微分的积分是定值，对作用量的变分没有贡献。由于始末端固定，f的变分为0也可以直接验证满足拉格朗日方程。从哈密顿原理看拉格朗日函数的

非唯一性第67页，共1