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2025年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．

1．在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（????）

A． B．

C． D．

2．在平行六面体中，，，且，，则（????）

A． B． C． D．

3．已知、是空间中两个不同的平面，、是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（????）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，，则

4．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（????）

A． B． C． D．

5．在正方体中，P为线段上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1，则下列结论正确的有（????）

①直线与AC所成角的取值范围是

②存在P点，使得平面平面

③三棱锥的体积为

④平面截正方体所得的截面可能是直角三角形

A．①③ B．②④ C．③④ D．②③

6．如图，在正方体中，E为棱上一点且，则直线与平面所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

7．如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（????）

A．平面

B．存在点，使平面

C．存在点，使

D．

8．在正四棱锥中，，在棱上，在直线上，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9．已知点是平行四边形所在平面外一点，，，下列结论中正确的是（????）

A．

B．存在实数，使

C．不是平面的法向量

D．四边形的面积为

10．已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（????）

A．；

B．

C．；

D．

11．在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，点是侧面内一点（包含边界），若，则下面哪些值可能是线段的长度（?????）

A．B．

C．D．

12．如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点，，，则（????）

A． B．平面ABCD

C． D．三棱锥外接球的表面积是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则______．

14．如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为_____.

15．三棱柱中，平面平面，且，，，则异面直线与所成角的正弦值为________．

16．如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为_____________

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，已知，，，，，，，，为空间的个点，且，，，，，，．

(1)求证：，，，四点共面，，，，四点共面；

(2)求证：平面平面；

(3)求证：．

18．如图，正方体的棱长为a．

(1)求和的夹角；

(2)求证：．

19．设全体空间向量组成的集合为，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”；.

(1)设，，若，求向量；

(2)对于V中的任意单位向量，求的最大值.

20．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

(1)证明：AP⊥BC；

(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.

21．如图，在三棱柱中，，，，是的中点，E是棱上一动点．

（1）若E是棱的中点，证明：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）是否存在点E，使得，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．

22．如图，在三棱柱中，平面ABC，，D是的中点．

(1)求平面与平面ABC夹角的余弦值；

(2)在直线CD上是否存在一点P，使得BP与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．

2025年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．

1．在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C