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本章主要教学内容数值积分法的基本原理及其主要内容快速仿真算法的基本原理及其主要内容离散相似法的基本原理及其仿真应用线性系统的仿真方法非线性系统的仿真方法采样控制系统的仿真方法第5章系统仿真算法分析

第5章本章教学目的及要求掌握数值积分法和快速仿真算法的原理及应用掌握离散相似法的原理应用熟悉线性系统、非线性系统、采样系统的仿真处理过程系统仿真算法分析

5.1数值积分法系统仿真中最常用、最基本的求解常微分方程数值解的方法主要是数值积分法。设系统常微分方程为：（5-1）为包含有时间t和函数y的表达式，y0为函数y在初始时刻t0时的对应初值。我们将求解方程（5-1）中函数的问题称为常微分方程数值求解问题。系统仿真算法分析#2022

第5章其几何意义是把在区间内的曲边面积用矩形面积近似代替，如图5-1所示。系统仿真算法分析单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅地阐述观点。5.1.1欧拉（Euler）法01将式（5-1）在小区间上进行积分可得：1．欧拉公式的推导02

第5章系统仿真算法分析

系统仿真算法分析当h很小时，可以认为造成的误差是允许的。所以有：A称之为欧拉公式。B

第5章系统仿真算法分析欧拉法实际上是采用折线代替了实际曲线，也称之为折线法。欧拉法计算简单，容易实现。由前一点值仅一步递推就可以求出后一点值，所以称为单步法。欧拉法计算只要给定初始值，即可开始进行递推运算，不需要其它信息，因此它属于自启动模式。欧拉法是一种近似的处理，存在计算误差，所以系统的计算精度较低。2.欧拉法具备以下特点：

第5章5.1.2梯形法单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。1．梯形公式为了弥补欧拉法计算精度较低的不足，可以采用梯形面积公式来代替曲线下的定积分计算，如图5-2所示。依然对式（5-1）进行求解，采用梯形法作相应近似处理之后，其输出为：称为梯形积分公式。系统仿真算法分析

第5章系统仿真算法分析

从中可以看到，在计算时，其右端函数中也含有，这种公式称为隐式公式，不能靠自身解决，需要采用迭代方法来启动，称之为多步法。可以先采用欧拉公式进行预报，再利用梯形公式进行校正。即梯形法的预报—校正公式：系统仿真算法分析

第5章系统仿真算法分析采用梯形代替欧拉法的矩形来计算积分面积，其计算精度要高于欧拉法。采用预报—校正公式，每求一个，计算量要比欧拉法多一倍。因此计算速度较慢。梯形公式中的右端函数含有未知数，不能直接计算左端的变量值，这是一种隐式处理，要利用迭代法求解。即梯形法不能自启动，要靠多步法来实现计算。2.梯形法具备以下特点：

第5章5.1.3龙格—库塔（Runge—Kutta）法龙格—库塔公式二阶龙格—库塔公式：系统仿真算法分析

四阶龙格—库塔公式：系统仿真算法分析#2022

2.龙格－库塔法特点：（1）为单步法，并且可自启动。（2）改变仿真步长比较方便，可根据精度要求而定。（3）仿真计算量与仿真步长h的大小密切相关，h值越小计算精度越高，但所需仿真时间也就越长。（4）用泰勒级数展开龙格－库塔法计算公式时，只取h的一次项，即为欧拉法计算公式；若取到h2项，则为二阶龙格－库塔法计算公式；若取到h4项，则为四阶龙格－库塔法计算公式。第5章系统仿真算法分析

第5章5.1.4数值积分公式的应用【例5.1】已知一阶系统的微分方程为：，初始条件，取仿真步长h=0.1，分别用欧拉法、梯形法和龙格—库塔法计算该系统仿真第一步的值。解：原方程可变为:即系统仿真算法分析

用欧拉法计算根据欧拉公式，将函数表达式及其初始值代入后，可得该系统仿真第一步的值：系统仿真算法分析

用梯形法计算：根据预报—校正公式，将函数表达式及其初始值代入后，可得仿真第一步的值。用预报公式求起始值：系统仿真算法分析

再用校正公式得到系统仿真第一步的值：系统仿真算法分析#2022

系统仿真算法分析用二阶龙格—库塔法计算根据公式先计算出两个系数，再计算仿真第一步的值：第5章

则系统仿真第一步的值为：系统仿真算法分析#2022

系统仿真算法分析用四阶龙格—库塔公式计