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黑龙江省牡丹江市名校协作体2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知空间向量，，若，则（????）

A． B． C． D．

2．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（????）

A． B． C． D．8

3．已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（???）

A．极差为6 B．中位数为90

C．第70%分位数为92 D．平均数为90.25

4．某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用比例分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有（???）人.

A．13 B．14 C．15 D．16

5．已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的正切值为（???????）

A． B． C． D．

6．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

7527029371409857034743738636

6947761042811417469803716233

261680456011366195977424

根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（????）

A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75

7．有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（????）

A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立

C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立

8．投壶是从先秦延续至清末的传统礼仪和宴饮游戏，在战国时期较为盛行，投壶时，第一箭入壶（即投中）称为“有初”，投中且投入壶耳称为“贯耳”.假设投壶参与者甲每次投壶得“贯耳”的概率为，每次投中的概率为，若甲投壶3次，则甲“有初”，“贯耳”均投得的概率为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列说法不正确的是（???）

A．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则

B．若A，B为两个事件，则

C．若事件A，B，C两两互斥，则

D．若事件A，B满足，则A与B相互对立

10．下列说法正确的是（???）

A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数

B．一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变

C．有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为18

D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16

11．如图：在棱长为1的正方体中，分别为棱上的点（不与端点重合），点为正方形内一点（不在其边上），且共面，，，.则下列说法正确的是：（?????）.

A．若，则直线与平面的夹角的正切值为

B．若，，，则

C．若，有最小值，则的取值范围是：

D．若，则三棱锥外接球表面积的最小值为

三、填空题

12．若，，则.

13．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为3，现样本加入新数据3，5，7，则此时方差．

14．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为．

四、解答题

15．如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

(3)求直线到平面的距离.

16．某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中．

??

(1)求，的值；

(2)设这100名员工月销售额的第75百分位数为．为调动员工的积极性，该商场基于每位员工的月销售额制定如下奖励方案：当某员工的月销售额不足5千元时，不予奖励；当时