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福建省三明市2024-2025学年高二下学期7月期末质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（????）

A． B． C． D．

3．已知且，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．下列函数中，既是偶函数又在上是减函数的是（????）

A． B． C． D．

5．由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有（????）

A．24个 B．72个 C．96个 D．120个

6．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

7．已知随机变量，且，则的最小值为（????）

A． B． C． D．16

8．定义在R上的函数满足，当时，.已知函数，若，，不等式成立，则实数m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列命题中，正确的是（????）

A．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位

B．两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近于1

C．独立性检验中，根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到，推断零假设不成立，即认为X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05

D．用决定系数比较两个回归模型的拟合效果时，越大，表示残差平方和越大，模型拟合效果越差

10．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（????）

A． B．

C． D．

11．已知函数是R上的奇函数，且过点，对于一切正实数m，n，都有.当时，恒成立，则（????）

A．

B．方程所有根的和为

C．在上是单调函数

D．不等式的解集为

三、填空题

12．的展开式中的系数是（用数字作答）.

13．《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有种.

14．已知函数的定义域为D，若，b，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是D上的“三角形函数”.已知函数是上的“三角形函数”，则实数m的取值范围为.

四、解答题

15．在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同.

(1)求甲至少填报3个电子信息类专业的概率；

(2)若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

16．已知函数（，且）.

(1)若，求函数在点处的切线方程；

(2)已知，若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围.

17．某大学为了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：

年份

2020

2021

2022

2023

2024

年份代码t

1

2

3

4

5

报考人数y

30

65

95

135

175

(1)经分析，y与t存在显著的线性相关性，求y关于t的线性回归方程，并预测2025年的报考人数；

(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，录取方案：总分在400分以上的直接录取；在之间的进入面试环节，录取其中的50%；低于355分的不予录取.请预测2025年报考该专业考生中被录取的人数（最后结果四舍五入，保留整数）.

参考数据：.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，若随机变量，则，，.

18．已知函数，.

(1)若，求函数的极值；

(2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值.

19．某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ.

(1)求θ（结果用p表示）；

(2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题：

（ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）；

（ⅱ）为