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福建省福州第一中学2024-2025学年高一下学期第四学段模块考试（7月期末）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（???）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．一组数据分别为1，2，3，4，5，6，7，8，则这组数据的80%分位数是（???）

A．5 B．6 C．7 D．8

3．在如下图所示的两种分布形态中（???）

A．（1）中的中位数大于平均数 B．（1）中的众数大于平均数

C．（2）中的众数小于中位数 D．（2）中的中位数大于平均数

4．已知是水平放置的的直观图，，则的面积为（???）

A．12 B． C．6 D．

5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（???）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

6．若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数之和不大于10的概率是（???）

A． B． C． D．

7．已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（???）

A． B． C． D．

8．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列命题正确的是（???）

A．一组数据0，1，2，2，3，3，3，4，5的众数是3

B．已知随机事件A和B，若，则A和B相互独立

C．若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人

D．已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据…，（）的平均数为，方差为，则平均数

10．已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（???）

A． B．

C． D．

11．已知空间四边形中，，，且，设AC与平面BCD所成角为α，二面角的平面角为β，则（???）

A． B．

C．的最小值为 D．

三、填空题

12．已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则.

13．用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水．图1和图2为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸（单位：cm）如图所示．若如图1放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图2倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度h为cm．

14．若棱长为a的正四面体的内部有一个棱长为2的正方体可任意转动，则a的最小值为.

四、解答题

15．已知在直三棱柱中，，M为棱的中点，O为线段的中点．

(1)求证：平面MBC；

(2)求三棱锥的体积．

16．某高校的社团招聘面试中有4道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有四次答题机会，一旦累计2次答对抽到的题目，则该面试者面试通过，否则面试者就一直抽题到第4次为止，假设每位面试者对抽到的不同题目能否答对是独立的．设事件表示“李明第i次答对题目”，试用分别表示以下问题中的事件，并求对应的事件概率．

(1)求李明第三次答题通过面试的概率；

(2)求李明最终通过面试的概率．

17．如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面平面；

(2)若，．

①求证：平面；

②若，与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值．

18．某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图．

(1)请根据频率分布直方图，求出图中t的值．在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线

(2)在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在[70,90)内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自[70,80)的概率；

(3)已知在[70,80)内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在[80,90)内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在[70,90)内的学生成绩的平均数和方差（请先推导必要的公式，再代值计算）．

19．如图，在三棱台中，．

(1)过且平行于的平面分别交AB，AC于M，N，求证：．

(2)若三棱台