专题04 勾股定理实际应用的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024八年级上册（原卷版）.docxVIP

专题04勾股定理实际应用的四类综合题型

目录

TOC\o1-3\h\z\u典例详解

类型一、勾股定理解决最短路径问题

类型二、勾股定理解决网格问题

类型三、勾股定理解决行程问题

类型四、勾股定理解决梯子滑落问题

压轴专练

类型一、勾股定理解决最短路径问题

例．如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为，，．和是这个台阶上两个相对的点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为（）

A． B． C． D．

变式1-1．如图，在一个长为，宽为的长方形木板上，放着一根长方体木块，木块较长的棱和木板的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达边中点需要走的最短路程为（????）．

A．10 B． C． D．

变式1-2．棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（???）

A． B． C． D．

变式1-3．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（???）

A． B．25 C． D．13

变式1-4．如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖．

(1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？

(2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程．

类型二、勾股定理解决网格问题

例2．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，，均是格点．

（1）线段的长等于；

（2）点是这个网格图形中的格点，连接，，且满足．在如图所示的网格中，画出点的位置，在所有满足条件的中，边的长的最大值是．

变式2-1．如图是边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上．

(1)直接写出的形状；

(2)仅用无刻度的直尺画图（画图结果用实线，画图过程用虚线）；

①在图（1）中的上画点，连接，使；

②在图（1）中的上画点，连接，使；

③在图（2）中的上画点，使．

变式2-2．在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．

(1)的面积为______．

(2)若的三边、、长分别为，，，请在图的正方形网格中画出相应的，并求出的面积为______．

(3)在中，，、，以为边向外作（与在异侧），使为等腰直角三角形，则线段的长为______．

变式2-3．问题背景：在中，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将的面积直接填写在横线上：；

思维拓展：

（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积．

探索创新：

（3）若三边的长分别为（，，且），试运用构图法求出这三角形的面积．

类型三、勾股定理解决行程问题

例3．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．

??

(1)求点A与点B之间的距离；

(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．

变式4-1．如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C．

(1)若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离；

(2)当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？