专题：几何辅助线——倍长中线（讲义+课后练习，原卷版）.docxVIP

专题：几何辅助线——倍长中线

【知识梳理】

倍长中线（通用、任意△）

特征：出现一个中点，任意三角形

标准中线

延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ACD≌△EBD（SAS）

【平行“8”字型全等】

类中线

向中线做垂线

向中线做垂线

线段两端点

作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E

延长DF至点E，使得DE＝DF，连结CE，则△BDF≌△CDE（SAS）

【典例剖析】

一、标准中线

1．（23湖北襄阳八上期末）在△ABC中，AC=6，BC边上的中线AD=7，则AB边的取值范围是（????）

A．6AB7 B．5AB14

C．7AB20 D．8AB20

2．（25湖北八上期末）（1）如图1，AB=6，AC=4，中线AD的取值范围是多少？

（2）如图2，OA=OB，OC=OD，∠AOC与∠BOD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，求证：OE=1

（3）如图3，在（2）的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F，OF=3，OE=6．求

（2次全等）

3．（25重庆石柱八上期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAE，E为CD的中点，∠DAC=∠ADC．求证：AB=2AE．

4．（25江西月考）如图2，在四边形ABED中，P为BE的中点，点C在AD上，∠BAD+∠EDA=180°，AB=AC,DC=DE，求证：AP平分∠BAC．

5．（25重庆复旦八上期中）如图，等腰直角△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，∠CAB=∠CBA=45°．点D在BA的延长线上，连接CD；过点C作CE⊥CD，使CE=CD，连接BE，

(1)求证：AB⊥BE．

(2)如图，若点N为BD的中点，连接CN、AE；求证：AE=2CN．

二、类中线

6．（25河北八上期中）（1）如图1，AD是△ABC的中线，过点B作AC的平行线，交AD的延长线于点E，求证：△ADC≌△EBD；

（2）如图2，AD是△ABC的角平分线，点E在BC边上，CD=DE，过点E作EF∥AB交AD于点F，试判断EF与AC的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AD平分∠BAC交BC边于D点，点E为BC边的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，若S△ABC=16，

【变式练习】（25安徽八上期中）（1）如图1，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E在AB边上，AD与CE相交于点F，EA=EF，求证：AB=CF．

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，点E为BC边的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，若AF=2，CF=6，则

??

（图1）（图2）

7．（24安徽八上期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；

【变式练习】（25黑龙江八上期中）如图，在△ABC中，D是边AC的中点，∠EDF=90°，AF=5，CE=2

8．如图，已知AD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．

【变式练习】（25湖北八上期中）如图，在△ABC中，ABAC，AD是中线，∠BAD=12∠DAC，CF⊥AD于点

课后作业

1．（23河南八上月考）如图，在△ABC中，D为BC中点，E、F分别在AB、AC上，连接ED、FD、EF，若ED⊥DF，BE=6，CF=3，则EF的取值范围是．

2．（25辽宁八下期中）如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠ACE=∠B+∠ACB，求证：AC平分∠DAE．

3．（25云南八上期末）（1）如图1，AC和BE的位置关系是______；AD的取值范围是______．

（2）如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AB边上，AD与CE相交于点F若EA=EF，求证：AB=CF

（3）如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，点E为BC边的中点，过点E作EF∥AD交AC于点F，交BA的延长线于点G，若S△ABC

4．（25重庆两江育才八上期中）将两个等腰直角△ABC与△EFC如图放置，AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=90°．

(1)如图1，若点A、E、F三点共线时，交线段BC于点G，点D是线段AB上的点，满足AD=DF，∠BDF=30°，求∠BCF的度数；

(2)当△EFC绕着点C顺时针旋转至如图2时，分别连接AF，BE，若点M是线段AF的中点，连接MC，求证：BE=2CM；