专题06 代数式规律性探索三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024七年级上册（原卷版）.docxVIP

专题06代数式规律性探索三类综合题型

目录

TOC\o1-3\h\z\u典例详解

类型一、数字类规律性探索

类型二、图形类规律性探索

类型三、代数式加减法规律性探索

压轴专练

类型一、数字类规律性探索

例1．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则k的值为；若，则k的值为．

变式1-1．将1个1，2个，3个，…，个（为正整数）排成一列：1，，，，，，…，，记，，，…，记，，，…，，则．

变式1-2．数学中的逻辑推理主要包括归纳推理、类比推理和演绎推理．小明尝试探索能被8整除的整数的规律．

观察：

，，；

，，；

，，；

，，．

猜想：

（1）请你判断3265160__________被8整除（填“能”或“不能”）；

（2）由上述规律，我们发现：判断一个大于1000的整数能否被8整除，只需要看这个数的后__________位数能否被8整除．请说说你的判断方法．

应用：

（3）如果一个整数能被25整除，那么这个整数的特征是__________．

（4）某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，已知：①这个数能被8整除；②十位数字比个位数字大2；③百位数字是十位数字的一半；④千位数字是最小的正整数．这个房间号是多少？说说你的理由．

变式1-3．已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是．现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数．

(1)填空：，，；

(2)根据（1）的计算结果，请求出的值．

(3)化简：．

类型二、图形类规律性探索

例2．【操作观察】任意一张三角形纸片有3个顶点，在三角形内部依次增画点（所画的点不在三角形的边上且互相不重合）．

第1次在它的内部增画1个点，此时三角形纸片内部共有1个点；

第2次在它的内部继续增画2个点，此时三角形纸片内部共有个点；

第3次在它的内部继续增画3个点，此时三角形纸片内部共有个点；

…，

第n次在它的内部继续增画n个点．此时三角形纸片内部共有m个点．

【动手实践】第n次继续增画点后在三角形纸片内部共有m个点，以三角形纸片上个点为顶点，把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片，设最多可以剪得个小三角形．

【思考解答】

(1)第4次继续增画点后，______；第n次继续增画点后，______（用含有n的代数式表示）；

(2)第1次增画点后，如图①，以4个点为顶点，将原三角形纸片剪成小三角形，最多可以剪得3个小三角形，所以；第2次继续增画点后，如图②，以6个点为顶点，最多可以剪得7个小三角形，所以；第3次继续增画点后，以9个点为顶点，可得______；第n次继续增画点后，可得______（用含有n的代数式表示）；

(3)第n次继续增画点后，可得个小三角形，第次继续增画点后，可得个小三角形，则______（用含有n的代数式表示）．

变式2-1．【问题提出】

欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？

【构建模型】

为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段．

（1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛；

（2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛．

【实际应用】

（3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛．

（4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种．

变式2-2．综合探究

斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多?斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关．

(1)初步探究

斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）．

(2)深入探究

现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图