Hamilton方程辛隐式Runge-Kutta方法的快速算法.pdf

摘要

Hamilton方程用于描述物理系统的演化过程,在经典力学和量子力学中都

有广泛的应用.Hamilton方程的解具有辛结构和能量守恒的性质,从保结构算

法的观点出发,数值解需要能保持原方程的辛结构,而保持辛结构的单步Runge-

Kutta方法通常是隐式的,因此求解非线性方程组所需的计算量极大.

本文构造了一种针对Hamilton系统的辛隐式Runge-Kutta方法的快速算

法,该算法与直接迭代的算法相比,将Runge-Kutta内部级方程组问题的规模,

保持在方程本身的维度水平,极大的降低了空间效率,在保持原算法一定精度的

前提下,显著的提高了计算效率.并且针对Hamilton问题的特性,将Hamilton

相空间的计算规模降低到空间维度水平,尤其是在Hamilton偏微分方程经过空

间离散得到的大规模问题上,优势非常明显.

本文通过应用Gauss-Legendre型辛Runge-Kutta方法的快速算法,在Lotka-

Volterra,,Schrödinger,Sine-Gordon

方程线性波方程方程以及方程的计算结

果中,表示了算法的有效性和可靠性.

关键词

Hamilton系统,辛Runge-Kutta方法,快速算法

I

ABSTRACT

TheHamiltonequationisusedtodescribetheevolutionprocessofaphysi-

calsystemandfindswideapplicationsinbothclassicalmechanicsandquantum

mechanics.ThesolutionoftheHamiltonequationhasthepropertiesofsymplec-

ticstructureandenergyconservation.Thesymplecticstructureoftheoriginal

equation,andthesingle-stepRunge-Kuttamethodthatmaintainsthesymplec-

ticstructureisusuallyimplicit,sothecalculationrequiredtosolvethenonlinear

equationsystemisextremelylarge.

ThispaperpresentsafastalgorithmforthesymplecticimplicitRunge-Kutta

methodinHamiltoniansystems.Incomparisontothedirectiterativealgorithm,

thisalgorithmreducesthecomputationalcomplexitytothedimensionlevelof

theequationitself,therebygreatlyimprovingspaceefficiency.Whileensuring

acertainlevelofaccuracy,thealgorithmsignificantlyenhancescalculationeffi-

ciency.Additionally,exploitingthecharacteristicsoftheHamiltonianproblem,

thealgorithmreducesthecalculationscaleoftheHamiltonianphasespaceto

thedimensionlevel,particularl