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6.3平面向量基本定理及坐标表示
6.3平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1平面向量基本定理
例1如图6.3-4，，不共线，且，用，表示．
解：因为，
所以
．
例2如图6.3-5，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形．
分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形．
证明：如图6.3-6，设，，则，，于是.
.
因为，
所以.
因为，，
所以.
因此.
于是是直角三角形.
练习
1．如图，，，是的三条中线，，．用表示，，，．
2．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点．
（1）用表示，，；
（2）能由（1）得出，的关系吗？
3．如图，在中，，点E，F分别是，的中点．设，．
（1）用表，．
（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
例3如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.
解：由图6.3-10可知，，
所以.
同理，
，
，
.
6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示
例4已知，，求，的坐标.
解：，
.
例5如图6.3-13，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标.
解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为.
因为，
，
又，
所以.
即解得，
所以顶点D的坐标为.
解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知
，
而
.
所以顶点D的坐标为.
练习
4．在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
5．在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：
（1）；（2）；（3）；（4）．
6．若点，，，，则与有什么位置关系？证明你的猜想．
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
例6已知，，求的坐标.
解：
.
例7已知，，且，求.
解：因为，
所以.
解得.
例8已知，，，判断A，B，C三点之间的位置关系.
解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-15）.
观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.
因为，
，
又，
所以.
又直线，直线有公共点A，
所以A，B，C三点共线.
例9设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，.
（1）当P是线段的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标.
解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知
.
所以，点P的坐标是.
（2）如图6.3-17，当点P是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或.
如果（图6.3-17（1）），那么
，
即点P的坐标是.
同理，如果（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是.
练习
7．已知，，求，的坐标．
8．当为何值时，与共线？
9．若点，，，，则与是否共线？
10．求线段的中点坐标：
（1）；（2）；（3）．
11．已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标．
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
例10若点，，，则是什么形状？证明你的猜想.
解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下：
因为，
，
所以..
于是.
因此，是直角三角形.
例11设，，求及，的夹角（精确到1°）.
解：
.
因为，，所以用计算器计算可得
.
利用计算器中的“”键，得.
例12用向量方法证明两角差的余弦公式
.
证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则
，.
由向量数量积的坐标表示，有
.
设与的夹角为，则
.
所以.
另一方面，由图6.3-20（1）可知，；由图6.3-20（2）可知，.于是，.所以
.
于是.
练习
12．已知，，求，，．
13．已知．求．
14．已知，利用计算工具，求与的夹角（精确到1°）．
习题6.3
复习巩固
15．如图，在中，，点E是CD的中点，设，用表示.
16．已知作用在坐标原点的三个力对应向量分别为，求作用在原点的合力的坐标.
17．在下列各小题中，已知向量的坐标，以及表示的有向线段的起点A的坐标，求终点B的坐标.
（1）；
（2）；
（3）.
18．已知的顶点，，，求顶点D的坐标．
19．已知点，且，求点及向量的坐标.
20．已知点，且,求点C，D，E的坐标.
21．你认为下列各组点具有什么样的位置关系？证明你的猜想.
（1）；
（2）；
（3）.
22．分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为顶点的三角形
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