7.1 复数的概念（解析版）.docx

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7.1复数的概念

7.1复数的概念

7.1.1数系的扩充和复数的概念

例1当实数m取什么值时，复数是下列数？

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.

分析：因为，所以，都是实数.由复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值.

解：（1）当，即时，复数z是实数.

（2）当，即时，复数z是虚数.

（3）当，且，即时，复数z是纯虚数.

练习

1．说出下列复数的实部和虚部：.

2．指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.为什么？.

3．求满足下列条件的实数x，y的值：

（1）；

（2）

7.1.2复数的几何意义

例2设复数，.

（1）在复平面内画出复数，对应的点和向量；

（2）求复数，的模，并比较它们的模的大小.

解：（1）如图7.1-4，复数，对应的点分别为，，对应的向量分别为，.

（2），

.

所以.

例3设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

（1）；

（2）.

解：（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆.

（2）不等式可化为不等式

不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合.容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（图7.1-5）.

练习

4．说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长为1）．

5．在复平面内，描出表示下列复数的点：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)5；

(6)．

6．已知复数．

（1）在复平面内画出这些复数对应的向量；

（2）求这些复数的模．

习题7.1

复习巩固

7．符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子若不存在，请说明理由.

（1）实部为的虚数；

（2）虚部为的虚数；

（3）虚部为的纯虚数.

8．实数m分别为何值时，复数是

（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数.

9．求适合下列方程的实数x与y的值：

(1)；

(2)．

10．如果P是复平面内表示复数的点，分别指出在下列条件下点P的位置.

（1）；?????（2）；

（3）；??????（4）.

11．求复数及的模，并比较它们的模的大小.

综合运用

12．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点．

(1)位于第四象限？

(2)位于第一、三象限？

(3)位于直线y＝x上？

13．在复平面内，O原点，向量对应的复数是.

（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；

（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.

14．设：,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

（1）；

（2）.

15．如果复数z的实部为正数，虚部为3,那么在复平面内，复数z对应的点应位于怎样的图形上？

拓广探索

16．已知复数z的虚部为,在复平面内复数z对应的向量的模为2,求这个复数z.

17．在复平面内指出与复数对应的点,判断这4个点是否在同一个圆上，并证明你的结论.

变式练习题

18．写出复数4，－π，2－3i，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.

19．当实数为何值时，复数i是实数、纯虚数、虚数？

20．已知，，若，求实数的取值集合．

21．已知复数（），且，求k的值.

22．若是纯虚数，则实数的值为（）

A． B． C． D．

23．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是()

A．2－2i B．2＋i

C．－＋ D．＋i

24．若实数x，y满足(x＋y)＋(x－y)i＝2，则xy的值是____.

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参考答案：

1．实部分别为；虚部分别为.

【解析】根据复数的概念，复数，则为实部，为虚部，解答即可.

【详解】解：的实部分别为；

虚部分别为.

【点睛】本题考查复数的相关概念，属于基础题.

2．实数有；虚数有；纯虚数有.

【解析】根据复数的概念解答即可.

【详解】解：对于复数，若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数；可知

实数有：；

虚数有：；

纯虚数有：.

【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.

3．（1）；（2）.

【解析】（1）根据复数相等的充要条件为实部和实部相等，虚部和虚部相等，得到方程组，解得；

（2）复数为零的充要条件为实部和虚部同时为零，得到方程组，解得；

【详解】解：（1）

，

解得；

（2）

，

解得

【点睛】本题考查复数相等和复数为零求参