6.3.2平面向量的坐标表示（解析版）.docx

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6.3.2平面向量的坐标表示

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

例3如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.

解：由图6.3-10可知，，

所以.

同理，

，

，

.

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示

例4已知，，求，的坐标.

解：，

.

例5如图6.3-13，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标.

解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为.

因为，

，

又，

所以.

即解得，

所以顶点D的坐标为.

解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知

，

而

.

所以顶点D的坐标为.

练习

1．在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），．

2．在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：

（1）；（2）；（3）；（4）．

3．若点，，，，则与有什么位置关系？证明你的猜想．

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

例6已知，，求的坐标.

解：

.

例7已知，，且，求.

解：因为，

所以.

解得.

例8已知，，，判断A，B，C三点之间的位置关系.

解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-15）.

观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.

因为，

，

又，

所以.

又直线，直线有公共点A，

所以A，B，C三点共线.

例9设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，.

（1）当P是线段的中点时，求点P的坐标；

（2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标.

解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知

.

所以，点P的坐标是.

（2）如图6.3-17，当点P是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或.

如果（图6.3-17（1）），那么

，

即点P的坐标是.

同理，如果（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是.

练习

4．已知，，求，的坐标．

5．当为何值时，与共线？

6．若点，，，，则与是否共线？

7．求线段的中点坐标：

（1）；（2）；（3）．

8．已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标．

6.3.5平面向量数量积的坐标表示

例10若点，，，则是什么形状？证明你的猜想.

解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下：

因为，

，

所以..

于是.

因此，是直角三角形.

例11设，，求及，的夹角（精确到1°）.

解：

.

因为，，所以用计算器计算可得

.

利用计算器中的“”键，得.

例12用向量方法证明两角差的余弦公式

.

证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则

，.

由向量数量积的坐标表示，有

.

设与的夹角为，则

.

所以.

另一方面，由图6.3-20（1）可知，；由图6.3-20（2）可知，.于是，.所以

.

于是.

练习

9．已知，，求，，．

10．已知．求．

11．已知，利用计算工具，求与的夹角（精确到1°）．

变式练习题

12．已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？

13．已知，，，．

(1)t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？

(2)四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．

14．设k为实数，若向量，，，当k为何值时，A，B，C三点共线？

15．已知向量，．当k为何值时，与的夹角是钝角？

16．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．

(1)当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．

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参考答案：

1．（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．

【解析】根据向量的坐标运算法则计算可得.

【详解】解：

（1）；

．

（2）；．

（3）；．

（4）；．

【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．

2．（1）；．（2），．（3）；．（4）；．

【解析】根据向量的坐标求法，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.

【详解】解：（1）,

；．

（2），

；．

（3），

；．

（4），

；．

【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.

3．平行，证明见解析

【解析】求出，的坐标，即可判断，的关系，得到与的位置关系.

【详解】解：．

证明如下：因为，，所以．

又因为与不共线，

所以．

【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量共线的判定，属于基础题.

4．（-6，-8