安徽省师范大学附属中学2025届高三下学期4月质量检测 数学试题（含解析）.docxVIP

安徽省师范大学附属中学2025届高三下学期4月质量检测数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．若，则（????）

A． B． C． D．2

3．设，若，则（????）

A． B． C． D．

4．若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为（????）

A． B． C． D．

5．已知，则（）

A． B． C． D．

6．已知圆台上、下底面半径分别为，，高为，且，当圆台的体积最大时，圆台的母线与底面所成角的正切值为（????）

A． B． C． D．1

7．已知函数（其中表示不超过的最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（????）

A． B． C． D．

8．记数列的前项和为，若，则的值不可能为（????）

A．96 B．98 C．100 D．102

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知函数和，则（????）

A．和的最小正周期相同

B．和在区间上的单调性相同

C．的图象向右平移个单位长度得到的图象

D．和的图象关于直线对称

10．已知为抛物线：的焦点，为坐标原点，过的直线与交于，两点，交的准线于点，则（????）

A．

B．若直线的斜率为1，则以线段为直径的圆截轴所得的弦长为10

C．若，则

D．的最大值为

11．设，函数，则（????）

A．有两个极值点

B．若，则当时，

C．若有个零点，则的取值范围是

D．若存在，满足，则

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距为.

13．设函数，，若曲线与恰有个公共点，则.

14．已知正三棱锥的各顶点均在半径为1的球的球面上，则正三棱锥内切球半径的最大值为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据：

样本号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

均值

身高

165

157

156

173

163

159

177

161

165

164

体重

53

46

48

56

57

49

60

45

54

52

(1)若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（精确到0.01）；

(2)建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）.

参考数据：，，，，.

参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，.

16．设函数.

(1)若是增函数，求的取值范围；

(2)若，为的两个极值点，求的取值范围.

17．如图，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)若点在棱上，当直线与平面所成角取最大值时，求.

18．已知椭圆：的右焦点为，离心率为，过点的直线交于，两点（在线段上），当直线的斜率为0时，.

(1)求的方程；

(2)求面积的最大值；

(3)过且与轴平行的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上.

19．已知数列满足，且.

(1)若，求满足条件的的值；

(2)设集合，

（ⅰ）若，证明：，，成等比数列；

（ⅱ）若（其中），且，求的最大值.

参考答案

1．【答案】C

【详解】因为，即，解得，

所以，则，

故选C.

2．【答案】D

【详解】因，，则，

则，.

故选D.

3．【答案】B

【详解】，所以，

解得或（舍），

故选B.

4．【答案】C

【详解】由可得，即，

且在上的投影向量为

故选C.

5．【答案】A

【详解】因为，所以，

.

故选A.

6．【答案】D

【详解】因，则，

因，得，

令，则，

则得；得，

则在上单调递增，在上单调递减，

则当时，取得最大值，此时，

故圆台母线与底面所成角的正切值为.

故选D.

7．【答案】A

【详解】，即，

因为，所以可得，解得，

当时，满足题意；

当时，即，解得，满足题意；

当时，即，解得，满足题意，所有实数根之和为，

故选A.

8．【答案】D

【详解】当时，，设，

当时，，则，

即，所以，

时取等，故D错误；

若，，且，，，

此时；

若，，且，，，

此时.

故A，B，C正确.

故选D.

9．【答案】ABD

【详解】对于A：和的最小正周期均为，选项A正确；

对于B：当时，，所以单调递增，

当时，，所以单调递增，选项B正确；

对于C：的图象向右平移个单位长度所得函数为，选项C错误；

对于D：，选项D正确.

故选ABD.

10．【答案】ACD

【详解】设直线：，，，其中，

∴，整理得，则，

，A正确；

直线的斜率为1，则此时，，

∴，

设为中点，

又，

易知，所以以为直径的圆截轴所得弦长为，B错误；

过A，分别作的垂线，垂足分别为，，因为，则A为P与B的中点，所以，由抛