2024_2025学年新教材高中数学第四章三角恒等变换4.2.2两角和与差的正弦正切公式及其应用课后素养落实含解析北师大版必修第二册.docVIP

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课后素养落实(二十八)两角和与差的正弦、正切公式及其应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．sin10°cos20°＋sin80°sin20°等于()

A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)

C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)

C[sin10°cos20°＋sin80°sin20°＝sin10°cos20°＋cos10°sin20°

＝sin(10°＋20°)＝sin30°＝eq\f(1,2)，故选C.]

2.eq\r(3)tan23°tan97°－tan23°－tan97°的值为()

A．2 B．2eq\r(3)

C．eq\r(3) D．0

C[∵tan(23°＋97°)＝eq\f(tan23°＋tan97°,1－tan23°tan97°)＝tan120°＝－eq\r(3)，

∴tan23°＋tan97°＝－eq\r(3)＋eq\r(3)tan23°tan97°，

∴原式＝eq\r(3)tan23°tan97°－(－eq\r(3)＋eq\r(3)tan23°tan97°)＝eq\r(3).]

3．在△ABC中，A＝eq\f(π,4)，cosB＝eq\f(\r(10),10)，则sinC等于()

A．eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(2\r(5),5)

C．eq\f(\r(5),5) D．－eq\f(\r(5),5)

A[sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)

＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(2),2)(cosB＋eq\r(1－cos2B))

＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),10)＋\f(3\r(10),10)))＝eq\f(2\r(5),5).]

4．已知0αeq\f(π,2)βπ，又sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，则sinβ等于()

A．0 B．0或eq\f(24,25)

C．eq\f(24,25) D．0或－eq\f(24,25)

C[∵0αeq\f(π,2)βπ，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，

∴cosα＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)或－eq\f(3,5).

∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(24,25)或0.

∵eq\f(π,2)βπ，∴sinβ＝eq\f(24,25).]

5．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，则sinα等于()

A．eq\f(\r(2),10) B．eq\f(7\r(2),10)

C．－eq\f(\r(2),10)或eq\f(7\r(2),10) D．－eq\f(7\r(2),10)

B[由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，得eq\f(3π,4)α＋eq\f(π,4)eq\f(5π,4)，

所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝

－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))\s\up8(2))＝－eq\f(4,5).

所以sinα＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)

＝eq\f(\r(2),2)