2024_2025学年高中数学第三章统计案例1回归分析的基本思想及其初步应用学案新人教A版选修2_3.docVIP

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回来分析的基本思想及其初步应用

导思

1.相关关系是一种确定性关系吗？

2.求回来直线方程的方法步骤是怎样的？

1.回来分析

(1)概念：回来分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

(2)步骤：画散点图→求回来直线方程→用回来直线方程进行预报．

回来直线方程得到的预报值是精确值吗？

提示：回来直线方程得到的预报值不是预报变量的精确值．事实上，它是预报变量的可能取值的平均值．

2．线性回来模型

(1)在线性回来方程＝＋x中，＝eq\f(\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,))（xi－\x\to(x)）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)＝，＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))，其中eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,))xi，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,))yi，

(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))称为变量样本点的中心，回来直线过样本点的中心．

(2)线性回来模型y＝bx＋a＋e，其中e称为随机误差，自变量x称为说明变量，因变量y称为预报变量．

(1)预报值y与真实值y之间误差大了好还是小了好？

提示：越小越好．

(2)随机误差产生的缘由是什么？

提示：主要有：所用的拟合函数不恰当；忽视了某些因素的影响；存在观测误差等．

3．刻画回来效果的方式

残差

把随机误差的估计值i称为相应于点(xi，yi)的残差

残差图

作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图

残差图法

残差点比较匀称地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高

残差平方和

残差平方和为eq\i\su(i＝1,n,)(yi－i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好

相关指数R2

R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)（yi－i）2,\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)，R2表示说明变量对预报变量改变的贡献率，R2越接近于1，表示回来的效果越好

(1)残差是怎样形成的？

提示：残差是回来分析得到的估计值与实际值的偏差．

(2)假如自变量与因变量之间没有回来关系，R2等于多少？

提示：假如自变量与因变量之间没有回来关系，R2等于0.

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)圆的面积和圆的直径之间是相关关系．(×)

(2)回来方程＝x＋必经过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)).(√)

(3)设回来方程为＝－5x＋3，若变量x增加1个单位，则y平均增加5个单位．(×)

提示：(1)圆的面积和圆的直径之间是确定关系，而不是相关关系．

(2)回来方程＝x＋必经过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，故正确．

(3)若变量x增加1个单位，则y平均削减5个单位，故错误．

2．(教材二次开发：例题改编)在如图所示的四个散点图中，适合用线性回来模型拟合其中两个变量的是()

A．①②B．①③C．②③D．③④

【解析】选B.结合散点图可知①③中的散点大体分布在一条直线的左右两侧．

3．已知回来方程＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，则残差平方和是()

A．0.01B．0.02C．0.03D．0.04

【解析】选C.因为残差i＝yi－i，所以残差的平方和为(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03.

类型一求线性回来方程(数据分析、数学运算)

【典例】某探讨机构对高三学生的记忆力x和推断力y进行统计分析，得如表数据：

x

6

8

10

12

y

2

3

5

6

(1)请画出表中数据的散点图(要求：点要描粗)；

(2)请依据表中供应的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回来方程＝x＋；

(3)试依据求出的线性回来方程，预料记忆力为9的同学的推断力．

【思路导引】(1)依据表中数据描点，留意不要连线．

(2)利用公式求解．

(3)将x＝9代入线性回来方程．

【解析】(1)如图：

(2)eq\x\to(x)＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，