2025年中考数学二次函数压轴题专题练习12直角三角形存在性问题（含解析）.docxVIP

专题12直角三角形存在性问题

【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），点B坐标为（5，3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．

一、几何法：两线一圆得坐标

（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）

二、构造三垂直：

构造三垂直步骤：

①过直角顶点作一条水平或竖直的直线；

②过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．

三、代数法：表示线段构勾股

（1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；

（2）表示线段：，，；

（3）分类讨论：当为直角时，；

（4）代入得方程：，解得：．

小结：

几何法：（1）“两线一圆”作出点；

（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．

代数法：（1）表示点A、B、C坐标；

（2）表示线段AB、AC、BC；

（3）分类讨论①AB2+AC2=BC2、②AB2+BC2=AC2、③AC2+BC2=AB2；

（4）代入列方程，求解．

如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．

例．（2024?酒泉二模）

1．如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上的一动点．

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

对应练习：

（2024春?兰山区校级月考）

2．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．

(1)求A，B两点的坐标；

(2)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（2024?富顺县二模）

3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点．

(1)求二次函数的解析式；

(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（2024?秭归县模拟）

4．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P．

(1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式；

(2)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

（2024?遂宁）

5．二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点，P、Q为抛物线上的两点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)当P、C两点关于抛物线对称轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；

（2024?锦江区校级模拟）

6．如图，二次函数的图象经过，，，连接线段和线段．

(1)求这个二次函数的解析式．

(2)若动点E从A点出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时，动点F从点B出发以每秒个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点停止运动，设动点运动时间为t秒，求当t为何值时，为直角三角形．

（2024春?威远县校级期中）

7．已知：二次函数的顶点在直线上，并且图象经过点．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)D是线段上的一个动点，过点作轴于点，点的坐标为．在上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

（2023秋?新会区校级月考）

8．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．

(1)求二次函数的解析式；

(2)二次函数的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出答案，如果不存在，请说明理由．

（2024?凉州区二模）

9．如图，已知：关于y的二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

(1)求二次函数的表达式．

(2)在y轴上是否存在一点P，使为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标．

（2023秋?伊通县校级月考）

10．如图①，二次函数与x轴交于点A、C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连接．

(1)求抛物线的对称轴；

(2)求直线的解析式；

(3)如图②，点P是x轴下方、抛物线对称轴右侧图象上的一动点，连接，过点P作，与抛物线的另一个交点为Q，M、N为上的两点，且轴，轴．

①当为直角三角形时，求点P的坐标；

（2024?娄底模拟）

11．如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在