高考数学重难点专项复习：平面向量数量积的最值与范围问题（原卷版+解析）.pdfVIP

微重点04平面向量数量积的最值与范围问题

平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角向量的系

数等的最值、范围.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，

平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法.

知识导图

❶考点一：求参数的最值（范围）

★平面向弓四空管最值与❷考点二求向量模、夹角的最值（范围）

范围问题

考点三：求向量数量积的最值（范围）

考点分类讲解

考点一：求参数的最值范（围）

规律方法利用共线向量定理推论

a//b0a=几人Z（?W0）.

1（）

⑵应=儿应+〃龙（4,〃为实数），则4B,C三点共线o4+〃=L

[例1]2（023•漳州模拟）已知△48G点2满足反=|砺，点£为线段切上异于C,，的动点，若瀛=AAB

+n~AC,则〃+的取值范围是.

【变式1】设非零向量a的夹角为心若㈤=2|引=2,且不等式|2a+引2|a+才引对任意的。恒成立，

则实数A的取值范围为（）

A.[-1,3]B.[-1,5]

C.[—7,3]D.[5,7]

【变式2】2（3-24高三上•黑龙江佳木斯•阶段练习）在“1BC中，点。在线段AC上，且满足

莅=g正，点Q为线段8。上任意一点，若实数满足通=x1g+y/，则2*+4〉的最小值

为

【变式2】.（2023高三•全国•专题练习）已知向量方,5满足|万|=1,方=2（友,1）,且而+5=C2（eR）,则函

数/0）=3》+必-0-1）的最小值为______.

1+X

【变式4】2（023•深圳模拟）过△被7的重心G的直线/分别交线段46,2。于点£,F,若亚=［葩，AF=

PAC,贝!J1+〃的最小值为（）

AB—

4

C-D.1

O

考点二：求向量模、夹角的最值范（围）

易错提醒找两向量的夹角时，要注意“共起点”以向量夹角的取值范围是0［,n］.若向量a,6的夹角

为锐角，包括a・6〉0和a,b不共线；若向量a,的夹角为钝角，包括a•60〈和a,Z）不共线.

rr1r1

【例1】2（024•吉林长春•模拟预测）己知向量。，区为单位向量，且。为=-金，向量与5+36共线，

则I方+*的最小值为.

【例2】1（）己知e为单位向量，向量a满足a（—e）•a（-5e）=0,则|a+e|的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

⑵平面向量a,6满足|a|=3|6|,且Ia—3=4,则a与a—6夹角的余弦值