高一数学重难点专项复习：利用传统方法解决二面角问题（五大题型）（解析版）.pdfVIP

重难点专题14利用传统方法解决二面角问题

【题型归纳目录】

题型一：定义法

题型二：三垂线法

题型三：垂面法

题型四：影面积法

题型五：补棱法

【方法技巧与总结】

二面角的求法

法一：定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如

图在二面角。-/-力的棱上任取一点O,以。为垂足，分别在半平面。和户内作垂直于棱的线和OB,

则线Q4和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于

求两条异面直线的夹角即可）.

法二：三垂线法

在面a或面刀内找一合适的点A,作AO_L分于O,过A作AB_Lc于3,则30为斜线在面£内的

影，为二面角a-c-的平面角.如图1,具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点A,作A0_L/于O；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作ABLc于3,连接30；

③计算：NA5O为二面角a-c-尸的平面角，在也中解三角形.

图1图2图3

法三：影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的影图形面积的都可利用影面

qc

积公式（cosO=』=±幺如图2）求出二面角的大小;

s斜sABC

法四：补棱法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线称（为补

棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法

解题.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二

面角的平面角.

【典型例题】

题型一：定义法

【典例1-1】2（024.高一.浙江金华•期中）如图，在三棱锥尸—ABC中，AB^AC,。为BC的中点，PO1

平面A5C,垂足。落在线段AD上.

⑴证明：AP1BC；

⑵已知BC=8,AO=3,OD=2,且直线尸3与平面PAD所成角的正弦值为石.

①求此三棱锥尸-ABC的体积；

②求二面角3-AP-C的大小.

【解析】（1）因为AB=AC,。为8C的中点，所以AD人3C,

又尸01平面A3C,则

又AD尸0=0,4）,POu平面PAD,所以3C1平面上4D,

又APu平面尸AD,所以AP_L3C；

2（）①由平面尸AD,则直线尸8与平面PAD所成角为NBPD,

2

则sinZBPD=—,由BC=8,AO=3,OD=2,D为BC的中点，

所以BD=4,则PS=6,所以PD=26，

由尸01平面ABC,所以PO=4,所以匕〜„c=gx4xgx8x5=,；

p

②在平面ABC内作BAfLAP于/,连接CM,由8clpA,

又BMBC=B,BM,BCu平面BCM,所以API平面3cM,

所以APJ_MC,则—BMC为二面角3-AP-C的平面角,

在直角三角形AZ汨中，AB=JAD。+DB。=而，

在直角三角形POD中，PD2=PO2+OD2,