2024年中国西部数学邀请赛试题.docxVIP

2024年中国西部数学邀请赛第一天

1.对正整数n,记Sn=12024+22024+…+n2024.证明：存在无穷多个正整数n,使得S。不是1865的倍数，而Sn+1是1865的倍数.

2.求所有的整数k,使得存在整数数列{an},同时满足：

(1)对任意正整数n,an+1=a3+kan+1:

(2)存在正实数M,使得对任意正整数n,|anl≤M.

3.如图，设AB,AC是圆O的两条切线，B,C是切点.点D,E,F分别在线段BC,CA,AB上，满足AFAE且∠FDB=∠EDC.设过点F,E,C的圆与

圆O交于G,C两点.证明：∠AEF=∠BGD

4.给定整数n≥2.在n×n方格表的每个小方格中各填入一个不超过n的正整数，使得每一行填入的数从左至右不减，每一列填入的数从上至下不减.若两个有公共边的小方格填入的数相同，则称这两个(无序的)小方格为一个“好对”.

求好对个数的最小可能值.

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2024年中国西部数学邀请赛第二天

5.已知凸六边形P的所有顶点在一个单位正方形的边上，且所有内角相等.求P的最短边长度的最大可能值

6.魔术师和一名观众按如下规则表演一个互动魔术.有101个不同的帽子围成一圈.魔术开始前，一名观众将一只兔子藏在某个帽子里并选定一个正整数n.在魔术表演的每个回合中，魔术师先选定一个帽子，如果帽子里有兔子，则魔术表演结束；如果帽子里没有兔子，那么魔术师蒙上眼睛，观众将兔子从当前的帽子按顺时针方向移动到之后第n个帽子里，然后开始下一回合.魔术师知道观众移动兔子的方式，但不知道n的值.证明：魔术师可以制定一个策略，经过不超过201个回合找到兔子.

7.设正整数a,b,c,d满足且

ab+bc+ca+d|(a+b)(b+c)(c+a)

求ab+bc+ca+d2的素因子个数的最小值.(素因子的个数计重数，如12的素

因子个数为3.)

8.给定整数n≥2.设a(1≤i,j≤n)是n2个和为1的非负实数.对1≤i≤

n,记R?=maxaik:对1≤j≤n,记

求C?C?…Cn(R?+R?+…+Rn)的最大可能值.

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