2024年全国中学生数学联赛A卷试题含解析（一试）.docxVIP

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)

暨2024年全国高中数学联合竞赛

一试试题(A卷)

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1.若实数m1满足log?(logm)=2024,则log?(log?m)的值为_

2.设无穷等比数列{a,})的公比q满足0Ja|1.若{a。}的各项和等于{a}各项的平方和，则a?的取值范围是_

3.设实数a,b满足：集合A={x∈R|x2-10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b3}的交集为[4,9],则a+b的值为

4.在三棱锥P-ABC中，若PA⊥底面ABC,且棱AB,BP,BC,CP的长分别为1,2,3,4,则该三棱锥的体积为

5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列。独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a,b.若事件“a+b=7”发生的概率为,则事件“a=b”发生的概率为

6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2)在区间[0,5]上的零点个数为25,则g(x)在区间(1,4)上的零点个数为_

7.设F,F?为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点),记0为△PFF?的外心，若PO·FF?=2PF·PF,则Ω的离心率的最小值为__

8.若三个正整数a,b,c的位数之和为8,且组成a,b,c的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8,则称(a,b,c)为“幸运数组”,例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10abc的幸运数组(a,b,c)的个数为

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9.(本题满分16分)在△ABC中，已

求cosC的值.

10.(本题满分20分)在平面直角坐标系中，双曲线T:x2-y2=1的右顶点为A.将圆心在y轴上，且与T的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若

两个好圆外切于点P,圆心距为d,求的所有可能的值.

11.(本题满分20分)设复数z,w满足z+w=2,求S=|z2-2wl+|w2-22

的最小可能值.

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一试(A卷)参考答案及评分标准

说明：

1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次.

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1.若实数m1满足log,(log?m)=2024,则log;(log?m)的值为_答案：4049.

解：log;(log?m)=log;(3log?m)=1+2log,(log?m)=1+2×2024=4049.

2.设无穷等比数列{a}的公比q满足019|1.若{a,)的各项和等于{a}各项的平方和，则a?的取值范围是

答案：J(0,2).

解：因为数列{a}的各项和为,注意到{a}各项的平方依次构成首项为a2、公比为q2的等比数列，于是{a2}的各项和为

由条件知化简得a?=1+q.

当q∈(-1,0)U(0,1)时，(0,2).

3.设实数a,b满足：集合A={x∈R|x2-10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b3}

的交集为[4,9],则a+b的值为_答案：7.

解：由于x2-10x+a≤分(x-5)2≤25-a,故A是一个包含[4,9]且以x=5为中点的闭区间，而B是至多有一个端点的区间，所以必有A=[1,9],故a=9.

进一步可知B只能