2024年南锥数学奥林匹克试题.docxVIP

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2025-02-23 发布于湖南
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2024年南锥数学奥林匹克试题.docx

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第一天

1.求证：存在无穷多个四元正整数组(a,b,c,d),使得ab+1,bc+16,cd+4,da+9均为完全平方数.

2.在△ABC中，点A?,A?在边BC上，点B?,B?在边CA上，点C?,C?在边AB上，满足A?A?B?B?C?C?

为凸六边形，且B,A?,A?,C在边BC上顺次排列.若存在△PQR,其三边QR,RP,PQ上分别存在点X,Y,Z,使得△AB?C?≌△PYZ,△BC?A?≌△QZX,△CA?B?≌△RXY,则称△AB?C?,△BC?A?,△CA?B?

是“可粘合的”.

求证：△AB?C?,△BC?A?,△CA?B?是“可粘合的”当

且仅当△A?B?C?和△A?B?C?的重心重合.

3.求所有正整数n,使得3n-2n-1为完全平方数.

第二天

4.设N是一个2k位的正整数.它的分块是由第1位至第k位和第k+1位至第2k位这两个数字组成的(例如，142856的分块是142和856).我们将N的反向数定义为调换其分块后形成的数字(例如，142856的反向数是856142,1401的反向数是114).若正整数n满足以下条件，则称n是“塞阿拉数”:n为偶数位数；n的两个分块是互质的；n整除其反向数.求最小的两个“塞阿拉数”.

注：塞阿拉州为巴西东北部一州。

5.称{1,2,··,n}的一个排列是“奇妙的”,如果对任意元素k,其左边至少有个元素.对任意正整数n,求“奇妙的”排列的总个数.

6.在一个8×8的国际象棋盘上有64个王，起初，它们都被放在不同的位置上.Alnardo和Bernaldo轮流行动，从Alnardo开始.每次行动时，该玩家可以选择一个王，并将其移动至右方、上方或右上方的相邻方格.如果王移动到已有另一个王的方格，这两个王都将被移出游戏.能移走最后两个王或在右上角留下最后一个王的玩家获胜.哪位玩家能确保获胜?